Fonction périodique
Exemple : Enregistrement d'un son
L'enregistrement d'un son délivré par un diapason est donné par le graphe suivant :
L'évolution temporelle du signal sonore peut être modélisée par l'expression :
\(U(t) = U_{max} \sin ( \omega t)\)
avec \(U_{max}\) la tension maximale (unité : volt V) délivrée par le diapason, \(\omega\) la pulsation du signal et t le temps .
Déterminer l'expression de \(U(t)\).
Explication :
Il faut quantifier l'amplitude du signal \(U_{max}\) et \(\omega\)
Amplitude du signal : \(U_{max}= 3\mbox{V}\)
\(\omega = \dfrac{2 \times\pi}{T}\) T est la période relevée sur le graphe : \(\mbox{T}=4~\mbox{ms}\).
Attention le temps est mesuré en ms. \(T = 4 \times 10^{-3}~\mbox{s}\)
Soit \(\omega = \dfrac{2 \times\pi}{4 \times 10^{-3}}=500\times\pi\)
Donc : \(U(t) = 3 \sin (500\times\pi t)\)
Méthode : Tracer la représentation graphique associée à une relation donnée.
On identifie quelle grandeur joue le rôle de \(y\) et quelle grandeur joue le rôle de \(x\) et on les place sur les axes d'un repère
On identifie la forme de la relation que l'on écrirait en mathématique (par exemple \(y=C\cos(ax)\) )
On identifie alors les paramètres de la fonction "équivalente" et on cherche :
Les valeurs particulières : valeur en \(x=0\) ?
Les valeurs maximales et minimales (amplitude de variation)
La période de répétition du motif
On place les points remarquables :
Valeur en zéro, droites horizontales parallèles qui "encadrent" les variations de la fonction, valeur en 0+T (avec T la période) et valeur en 0-T
On trace la courbe
Attention : Période, fréquence, pulsation
Pour tracer les variations d'une fonction périodique, il faut trouver la période en réécrivant si nécessaire le terme dans la parenthèse de la fonction sous la forme :
\(f\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\) si l'on étudie les variations en fonction de la position \(x\).
\(f\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\) si l'on étudie les variations en fonction du temps \(t\).
La période est définie comme l'inverse de la fréquence : \(T=\dfrac1f\)
La pulsation est reliée à la fréquence par la relation : \(\omega=2\pi f\)
Rappel : Fonctions trigonométriques
Les fonctions \(x \longmapsto C \cos(ax)\) et \(x \longmapsto C\sin(ax)\) sont des fonctions
Périodiques (=qui se répète)
Avec une période (=longueur de motif) \(\dfrac{2\pi}{a}\)
Dont les valeurs varient entre \(C\) et \(-C\), \(C\) est appelée l'amplitude en physique.
La différence entre les représentations graphiques de ces deux fonctions est leur valeur en zéro. Elles sont décalées d'une demi-période.
La fonction cosinus vaut 1 en 0, et donc la fonction \(x \longmapsto C \cos(ax)\) vaut \(C\) en \(x=0\)
La fonction sinus vaut 0 en 0, et donc la fonction \(x \longmapsto C \sin(ax)\) vaut \(0\) en \(x=0\)
