Déterminer l'équation d'une droite quelconque
Déterminer l'équation d'une droite dans le plan
Dans cette fiche nous allons voir comment déterminer l'équation d'une droite : \(y = ax + b\) modélisant l'évolution d'une grandeur \(y\) en fonction d'une grandeur \(x\) lorsqu'il n'est pas possible de lire directement l'ordonnée à l'origine de la droite de régression linéaire sur la figure.
Exemple : Caractéristique d'un générateur
On modélise l'évolution de la tension aux bornes d'un générateur en fonction du courant qui le parcourt par la relation \(U = E - r I\) .
\(U\) est la tension (unité : volt V) aux bornes du générateur, \(I\) est l'intensité (unité : ampère A) qui le traverse, \(E\) est sa force électromotrice (unité : volt V) et \(r\) sa résistance interne (unité : Ohm \(\Omega\)).
Déterminer les valeurs de \(E\) et \(r\).
On rappelle que : \(1~\mbox{V}\cdot\mbox{A}^{-1}=1~\Omega\)
Explication :
Analogie avec la situation mathématique de référence :
Situation de chimie présentée ici \(U = E - r I\) | Situation typique de mathématiques \(y=b+a\cdot x\) |
\(U\) | \(y\) : fonction |
\(I\) | \(x\) : variable |
\(-r\) | \(a\) : pente |
\(E\) | \(b\) : ordonnée à l'origine |
Lecture graphique :
Pente : on calcule la pente à partir des deux points de la droite :
On choisit deux points \(C\) et \(D\) sur la droite, par exemple : \(C(2 \mbox{ A} ;40 \mbox{ V})\) et \(D(6 \mbox{ A} ;20 \mbox{ V})\) (voir graphe ci-après)
On applique la formule qui permet de déterminer la pente :
pente = \(r=\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\dfrac{20\mbox{ V}-40\mbox{ V}}{6\mbox{ A}-2\mbox{ A}}\).
On réalise l'application numérique : \(r=\dfrac{-20}{4}=-5\), donc \(r=\dfrac{-20}{4} \dfrac{V}{A}=-5 \dfrac{V}{A}\)
On réalise le changement d'unité : \(r = 5~\Omega\)
Ordonnée à l'origine :
On applique la formule \(E = U + r I\) ,
On utilise le point de coordonnées \(A(I = 2 \mbox{ A} ; U = 40 \mbox{ V})\)
et le résultat de la pente : \(r = 5\mbox{ }\Omega\)
On réalise l'application numérique : \(E= 40 + 5 \times 2 = 50\mbox{ V}\)
Méthode : Lorsque l'axe horizontal (Ox) commence à zéro
Identifier
de \(y\) : la grandeur dont on étudie la variation
de \(x\) : la grandeur que l'on a fait varier pendant l'expérience
de \(a\) : la pente (aussi appelée coefficient directeur)
de \(b\) : l'ordonnée à l'origine
Déterminer la pente en choisissant deux points sur la droite et en utilisant la formule : \(a = \dfrac{y_D - y_C}{x_D - x_C}\)
Déterminer l'ordonnée à l'origine en utilisant la formule : \(b = y_C-a \times x_C\) .
Attention : Unités
\(b\) a la même unité que \(y\),
\(a\) a la même unité que \(\dfrac{y}{x}\)
Complément : Droite parallèle à (Oy)
Cas particulier: si la droite est parallèle à l'axe \((Oy)\) , \(a\) n'est pas défini et on a alors l'équation \(x = x_0\)
Rappel : Le sens des paramètres d'une droite
Dans un modèle affine de la forme \(y=ax+b\),
\(a\) est le coefficient directeur : il indique de combien \(y\) augmente quand \(x\) augmente de 1
Si la droite "monte", \(a\) est positif
Si la droite "descend", \(a\) est négatif
\(b\) est l'ordonnée à l'origine : elle indique quelle est la valeur de \(y\) quand \(x = 0\)
Si la droite passe par l'origine (point de coordonnées ( 0 ; 0 )), alors \(b=0\)