Déterminer l'équation d'une sinusoïde

Exemple Tension aux bornes d'un dipôle

La tension instantanée aux bornes d'un dipôle électrique est la suivante :

\(U(t) = U_{max} \times \cos \left(\dfrac{2\pi }{T}t\right) + U_{moy}\)

\(U_{max}\) est l'amplitude de la tension alternative (en volts)

\(U_{moy}\) est appelée composante continue (en volts)

\(T\) est la période (en seconde).

On a relevé l'enregistrement suivant :

Déterminer les valeurs de \(U_{max}~,~ U_{moy}\)  et \(T\) permettant d'écrire \(U(t)\).

Explication

Analogie avec la situation mathématique de référence :

Situation physique (électricité) présentée ici

\(U(t) = U_{max} \times \cos \left(\dfrac{2\pi }{T}t\right) + U_{moy}\)

Situation typique de mathématiques

\(y = A \cos \left(\dfrac {2 \pi}{T} x\right) + M\)

\(U\)

\(y\) : fonction

\(t\) : temps

\(x\) : variable

\(U_{max} \)

\(A\) : amplitude

\(U_{moy}\) : composante continue

\(M\) : valeur moyenne

La période \(T\) est commune aux deux écritures.

  • Période : on repère la "longueur" du motif horizontal qui se répète du fait de la périodicité de la fonction cosinus 

    • on peut choisir la "longueur" entre 2 minimums consécutifs ( cf schéma ci-dessous)

    • La période a donc pour valeur 0,03 - 0,01 = 0,02 s

  • Amplitude et Moyenne:

    • on relève les valeurs maximale et minimale sur la courbe :

      \(y_{max}= 4 V\) et \( y_{min}= -1 V\)

    • la demi-différence donne l'amplitude : \(\dfrac {4-(-2)}{2} =3\)

      et la demi-somme \(\dfrac {4+(-2)}{2} =1\) donne la moyenne.

Présentation du résultat :

\(U_{max} = 3 V\), puis \(U_{moy}= 1 V\)  et \(T = 0,02 s\)

\(U(t) = 3 \cos \left(\dfrac{2\pi }{0,02}t\right) + 1 =3 \cos (100\pi t) + 1\)

Méthode

  1. Lire les valeurs maximale et minimale de \(y\) (attention à l'échelle)

  2. Calculer les valeurs de :

    L'amplitude : \(A = \dfrac{(max - min)}{2}\)

    La moyenne : \(M = \dfrac{(min + max)}{2}\)

  3. Détermine la période en mesurant la longueur sur l'axe horizontal du plus petit motif de la courbe qui se répète (attention à l'échelle)

Attention La définition de l'ampliture

  • L'amplitude \(A\) a toujours une valeur positive

  • mais l'amplitude N'est PAS égale

    • À la valeur maximale de \(y\)

    • À la distance entre le maximum et le minimum de \(y\) (c'est la moitié)

Complément Courbe symétrique par rapport à une droite horizontale

  • Si la courbe représentative de \(y\) est symétrique par rapport à la droite d'équation \(y = M\), alors la moyenne de cette grandeur vaut M.

  • Si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses , alors la valeur moyenne \(M\) est nulle