Réaliser une application numérique

Exemple Déterminer le pouvoir calorifique

La combustion d'une masse \(\mbox{m}=2,0~\mbox{g}\) d'acide stéarique contenu dans une bougie libère une énergie thermique \(\mbox{E}=8,0 \times 10^4~\mbox{J}\)

Déterminer le pouvoir calorifique \(\mbox{PC}\) de l'acide stéarique, en \(\mbox{MJ.kg}^{-1}\), défini comme le rapport de l'énergie thermique \(\mbox{E}\) libérée lors de la combustion sur la masse \(\mbox{m}\) d'acide stéarique consommée.

Explication

  • On remplace les grandeurs littérales par leurs valeurs numériques :

    \(\mbox{PC}=\dfrac{E}{m}=\dfrac{8,0\times10^4\mbox{ J}}{2,0\mbox{ g}}\)

  • On convertit les données pour utiliser les unités demandées dans l'énoncé :

    • \(1\mbox{ g} = 10^{-3}\mbox{ kg}\)

    • \(1\mbox{ J} = 10^{-6}\mbox{ MJ}\)

  • On obtient : \(\mbox{PC}=\dfrac{E}{m}=\dfrac{8,0\times10^4\times10^{-6}\mbox{ MJ}}{2,0\times10^{-3}\mbox{ kg}}\)

  • On rassemble les objets de même nature : \(\mbox{PC}=\dfrac{E}{m}=\dfrac{8,0}{2,0}\times\dfrac{10^4\times10^{-6}}{10^{-3}}\times\dfrac{\mbox{ MJ}}{\mbox{ kg}}\)

  • On simplifie l'écriture : \(\mbox{PC}=\dfrac{E}{m}=4,0\times10^1\mbox{ MJ.kg}^{-1}=40\mbox{ MJ.kg}^{-1}\)

Exemple Détermination du rapport e/m pour un électron

On souhaite mesurer expérimentalement le rapport de la charge élémentaire sur la masse d'un électron : \(\dfrac{e}{m}\) en utilisant la relation \(\dfrac{e}{m}=\dfrac{2{\mbox{v}_0}^2{ h}}{\mbox{E}\times{\mbox{L}^2}}\).

On mesure pour cela la déviation d'un faisceau d'électrons dans un champ électrique et on obtient : \({\mbox{v}_0}=2,27\times{10^7}~\mbox{m.s}^{-1}\), \(h = 1,85~\mbox{cm}\), \(\mbox{E} = 15,0~\mbox{kV.m}^{-1}\), \(L = 8,50~\mbox{cm}\).

Exprimer le rapport \(\dfrac em\) en Coulomb par kilogramme.

On précise que \(1\mbox{ C}\cdot\mbox{kg}^{-1}=1\mbox{ m}^2\cdot \mbox{s}^{-2}\cdot\mbox{V}^{-1}\).

Explication

  • On remplace les grandeurs littérales par leurs valeurs numériques :

    \(\dfrac{e}{m}=\dfrac{2\times{\left(2,27\times10^7\mbox{ m.s}^{-1}\right)^2}\times{1,85 \mbox{ cm}}}{15,0 \mbox{ kV}\cdot\mbox{m}^{-1}\times{\left(8,50\mbox{ cm}\right)^2}}\)

  • On convertit les données pour utiliser les unités demandées dans l'énoncé :

    • \(1,85\mbox{ cm}=1,85\times10^{-2}\mbox{ m}\)

    • \(8,50\mbox{ cm}=8,50\times10^{-2}\mbox{ m}\)

    • \(15,0\mbox{ kV.m}^{-1}=15,0\times10^3\mbox{ V.m}^{-1}\)

  • On obtient : \(\dfrac{e}{m}=\dfrac{2\times{\left(2,27\times10^7\mbox{ m.s}^{-1}\right)^2}\times{1,85\times10^{-2}\mbox{ m}}}{15,0\times10^3\mbox{ V.m}^{-1}\times{\left(8,50\times10^{-2}\mbox{ m}\right)^2}}\)

  • On distribue les puissances :

    \(\dfrac{e}{m}=\dfrac{2\times{\textcolor{red}{\left(2,27\times10^7\mbox{ m.s}^{-1}\right)^{2}}}\times{1,85\times10^{-2}\mbox{ m}}}{15,0\times10^3\mbox{ V.m}^{-1}\times{\textcolor{red}{\left(8,50\times10^{-2}\mbox{ m}\right)^2}}}\)

    \(\Longrightarrow \dfrac{e}{m}=\dfrac{2\times2,27^{\textcolor{red}{2}}\times10^{\textcolor{red}{2\times 7}}\mbox{ m}^{\textcolor{red}{2}}\times\mbox{s}^{\textcolor{red}{-1\times2}}\times1,85\times10^{-2}\mbox{ m}}{15,0\times10^3\mbox{ V}\times{\mbox{ m}}^{-1}\times8,50^{\textcolor{red}{2}}\times 10^{\textcolor{red}{-2\times2}}\times\mbox{ m}^{\textcolor{red}{2}}}\)

    \(\Longrightarrow \dfrac{e}{m}=\dfrac{2\times2,27^2\times10^{14}\mbox{ m}^2\times\mbox{s}^{-2}\times1,85\times10^{-2}\mbox{ m}}{15,0\times10^3\mbox{ V}\times{\mbox{ m}}^{-1}\times8,50^2\times 10^{-4}\times\mbox{ m}^2}\)

  • On regroupe les objets de même nature :

    \(\dfrac{e}{m}=\dfrac{2\times2,27^2\times1,85}{15,0\times8,50^2}\times\dfrac{10^{14}\times10^{-2}}{10^3\times10^{-4}}\times\dfrac{m^2\times\mbox{ s}^{-2}\times\mbox{ m}}{\mbox{ V}\times{\mbox{ m}}^{-1}\times{\mbox{ m}^2}}\)

  • On simplifie l'écriture :

    \(\dfrac{e}{m}=0,01759237... \times{10^{14-2-3+4}}\mbox{ m}^2\cdot\mbox{s}^{-2}\cdot\mbox{V}^{-1}=0,01759237... \times{10^{13}}~\mbox{ C.kg}^{-1}\)

  • On choisit le bon nombre de chiffres significatifs, ici 3 : \(\dfrac{e}{m}=0,0176 \times{10^{13}}~\mbox{ C.kg}^{-1}\)

  • On utilise l'écriture scientifique : \(\dfrac em=1,76\times10^{11}~\mbox{ C.kg}^{-1}\)

Méthode

  1. Remplacer dans la formule les grandeurs littérales par leurs valeurs numériques avec les unités

  2. Réaliser les conversions d'unités nécessaires

  3. Distribuer les puissances

  4. Regrouper les objets de même nature : nombres, puissances de 10, unités

  5. Calculer chaque terme séparément :

    • Utiliser la calculatrice pour les nombres

    • Calculer de tête la puissance de 10 finale

    • Simplifier les unités

  6. Exprimer le résultat

    • En choisissant le bon nombre de chiffres significatifs (autant que la donnée qui en possède le moins dans le cas d'un produit/quotient)

    • En utilisant la notation scientifique.

Attention Calculatrice

Il ne faut pas rentrer d'un coup toutes les valeurs dans la calculatrice, c'est le meilleur moyen de faire des erreurs de parenthèses ou autres. Il faut d'abord organiser le résultat (étape 4) avant de se lancer dans le calcul.

Remarque Unités du Système International

Le passage par les unités du SI est souvent utile ou rassurant.

Dans certains cas, il n'est pas indispensable et peut induire des sources d'erreur.

Avant d'effectuer une application numérique, analyser les unités des données et les unités demandées pour le résultat. Parfois il n'est pas nécessaire de repasser par les USI.

Conseil Homogénéité

Lorsque l'on réalise une application numérique, il faut vérifier :

  • Que le résultat est bien homogène, c'est-à-dire que les unités du résultat sont bien celles attendues, et qu'on n'a pas une vitesse en m.s par exemple.

  • Que la valeur obtenue est raisonnable : faites confiance à votre bon sens !

Rappel Les chiffres significatifs

On garde dans le résultat d'un calcul d'un produit ou quotient autant de chiffres significatifs que pour la donnée qui en possède le moins.

Attention : un "facteur 2" ou le nombre \(\pi\) ne sont pas des données, ils n'ont pas été issus de mesures physiques.