Comparer des expressions littérales
Exemple : Prédominance
Une bille dans un fluide visqueux est soumise à une force de frottement fluide qui peut être décomposée en deux parties : \(F_1=6\pi\eta R V\) et \(F_2 = \dfrac{\pi}{4}\eta R V^2\).
Pour \(V=V_0\) ces deux forces sont égales.
Si la vitesse de l'objet est très petite, déterminer laquelle des deux forces domine.
Explication :
On commence par construire le rapport \(R\) entre les deux grandeurs :
\(R =\dfrac{F_1}{F_2} = \dfrac{6\pi\eta R V}{\dfrac{\pi}{4}\eta R V^2}\)
On simplifie le rapport de fractions : \(R = \dfrac{6\textcolor{red}{\pi\eta R V}}{\dfrac{\textcolor{red}{\pi}}{4}\textcolor{red}{\eta R V}\cdot V} = \dfrac{6}{\dfrac{1}{4} V}=\dfrac{24}{V}\)
Lorsque \(V\rightarrow 0\) le rapport \(R\) devient très grand. Ce qui signifie que quand \(V\rightarrow 0\) alors \(F_1\geq {F_2}\)
Et on peut donc négliger \(F_2\) devant \(F_1\)
Méthode : Comparer le quotient à 1
(si besoin) Nommer les deux grandeurs en utilisant des lettres : par exemple \(A\) et \(B\)
Construire un rapport entre les deux grandeurs et le nommer : par exemple \(k=\dfrac AB\)
Simplifier ce rapport
Utiliser la condition donnée dans l'énoncé :
Pour comparer ce rapport à 1 : si \(\dfrac AB<1\) alors \(A<B\) et inversement si \(\dfrac AB>1\) alors \(A>B\)
Pour trouver une condition sur une grandeur pour que le rapport soit plus petit ou plus grand que 1
Remarque : Traduction
Si \(\dfrac AB=k\) et que \(k\) est un nombre positif et plus grand que 1, alors on peut dire que \(A\) est \(k\) fois plus grand que \(B\)
Si \(|k|\gg1\), alors en physique on dit que \(B\) est négligeable devant \(A\), et réciproquement. C'est ce qui permet de faire des approximations pour simplifier les problèmes physiques.
Remarque : Quand utiliser cette méthode
Cette méthode est utile lorsque l'on cherche à négliger une grandeur devant une autre et donc à savoir si les deux grandeurs sont :
Du même ordre de grandeur \(k\approx 1\)
D'ordres de grandeurs très différents : \(|k|\gg 1\)