Trouver l'extremum d'une fonction
Exemple : Évolution linéaire
Un camion de 20 t doit effectuer régulièrement de longs trajets. Lorsqu'il roule à la vitesse \( v\), exprimée en km/h, sa consommation \(C(v)\), exprimée en litres pour 100 km,
est donnée par l'expression : \(C(v)= \dfrac{500}{v}+\dfrac{v}{5}\)
Déterminer la vitesse (en km/h) qui minimise la consommation.
Explication :
Il faut chercher le minimum de la fonction \(C\). Mathématiquement cela se traduit par la recherche de la vitesse \(v\) pour laquelle la dérivée de \(C\) par rapport à \(v\) s'annule.
Calcul littéral :
Dérivée :
On dérive \(C(v)=\dfrac{500}{\textcolor{red}{v}}+\dfrac{\textcolor{red}{v}}{5}\) et on obtient : \(C~' (v) = \dfrac{-500}{v^2}+\dfrac{1}{5}\)
Résolution d'équation : On cherche la valeur de \(v\) qui annule la dérivée de \(C\), ce qui revient à résoudre l'équation : \(C~' (v) =0\).
On cherche donc les valeurs de \(v\) telles que : \( \dfrac{-500}{v^2}+\dfrac{1}{5}=0\)
On met les deux termes de gauche au même dénominateur :
\(\dfrac{-500 \times 5}{5 \times v^2}+ \dfrac{v^2}{5\times v^2} = 0\)
On somme les fractions : \(\dfrac{-2500+v^2}{5v^2}=0\)
On se ramène à une équation en ligne en multipliant par \((5v^2)\) et on obtient : \(-2500+v^2=0\)
On isole \(v^2\) et on obtient : \(v^2=2500\)
On prend la racine positive de l'expression et on obtient : \(v=\sqrt{2500}=50\)
La vitesse pour minimiser la consommation est donc de 50 km/h
Méthode : Calculer la dérivée
Identifier la fonction dont on cherche l'extremum et qui joue le rôle de \(f\) et la variable qui joue le rôle de \(x\)
Calculer la dérivée de la grandeur par rapport à sa variable
Écrire la condition sur \(x\) pour que \(f\) soit extrémale : \(f'(x)=0\)
Isoler \(x\) ou bien résoudre l'équation
Remarque : Pas de tableaux de variations
Dans les exercices de physique on demande en général de trouver le maximum ou le minimum. Il suffit en général de trouver l'extremum et il n'est pas nécessaire de démontrer qu'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
Dans le cas où il vous faudrait analyser vous même la fonction pour trouver s'il existe un ou plusieurs extremum et déterminer leur nature, alors il faudrait construire le tableau des variations de la fonction.