Représenter les variations d'une fonction affine
Exemple : Évolution linéaire
On étudie la variation de la pression en fonction de la profondeur dans un aquarium de hauteur d'eau \(h\). L'axe des \(z\) est orienté vers le bas et l'origine est prise à la surface de l'eau.
La pression augmente lorsqu'on s'enfonce dans l'aquarium en suivant la loi de l'hydrostatique : \(P(z)=P_0 +\rho g z\).
Tracer le graphe qui représente l'évolution de la pression \(P\) en fonction de la profondeur \(z\).
Explication :
On cherche à représenter les variations de \(P\) en fonction de \(z\). C'est l'équivalent en mathématique de représenter \(\textcolor{red}{y}=f(\textcolor{blue}{x})\)
On identifie (en les surlignant dans la relation) la grandeur qui joue le rôle de \(y\) et celle qui joue le rôle de \(x\) (ici \(z\)) : \(\textcolor{red}{P}=P_0 +\rho g \textcolor{blue}{z}\).
On trace donc un repère avec \(P\) sur l'axe vertical et \(z\) sur l'axe horizontal.
Dans la relation, on reconnaît une équation de droite de la forme \(\textcolor{red}{y}=a\textcolor{blue}{x}+b\), dont la représentation graphique associée est une droite.
\(b\) est l'ordonnée à l'origine, ici \(b=P_0\)
\(a\) est le coefficient directeur (= la pente), ici \(a=\rho g\)
On place donc l'ordonnée à l'origine \(P_0\) sur l'axe vertical
La pente est positive et vaut \(\rho g\) : la droite "monte" en partant de \(P_0\)
Méthode : Tracer la représentation graphique associée à une relation donnée.
Identifier quelle grandeur joue le rôle de \(y\) et quelle grandeur joue le rôle de \(x\) et on les place sur les axes d'un repère
Identifier la forme de la relation que l'on écrirait en mathématique (par exemple \(y=ax+b\) ou \(y=C\cos(ax)\))
Identifier alors les paramètres de la fonction "équivalente" et chercher :
Les valeurs particulières : valeur en \(x=0\) ? valeurs aux limites ?
L'existence d'un minimum ? D'un maximum ? Pour quelle valeur ?
L'existence d'asymptote(s) ?
Placer les points remarquables de la représentation graphique associée
Tracer la courbe
Attention :
Les grandeurs portées sur les axes sont en général différentes de celles utilisées en mathématiques.
L'altitude \(z\) peut par exemple être portée sur l'axe des abscisses (horizontal)
La position \(x\) est souvent portée sur l'axe des ordonnées (vertical)
Remarque :
Il est parfois judicieux de choisir l'axe vertical orienté vers le bas (par exemple quand le mouvement est uniquement vers le bas)
Rappel : Le sens des paramètres d'une fonction affine
Dans un modèle affine de la forme \(y=ax+b\),
a est le coefficient directeur : il indique de combien \(y\) augmente quand \(x\) augmente de 1
Si \(a\) est positif, alors la droite "monte"
Si \(a\) est négatif, alors la droite "descend"
b est l'ordonnée à l'origine : elle indique quelle est la valeur de \(y\) quand \(x = 0\)
Si \(b=0\), alors la droite passe par l'origine.