Multiplier ou diviser des fractions
Exemple : Produit de fractions
Le grossissement commercial d'un microscope est défini par \(G=P_i\times \dfrac{1}{4}\) où \(P_i\) est la puissance intrinsèque. Dans un microscope, \(P_i=-\dfrac{\Delta}{f'_1f'_2}\).
Exprimer \(G\) en fonction de \(\Delta\), \(f~'_1\) et \(f~'_2\).
Explication :
On remplace \(P_i\) par son expression : \(G=P_i\times \dfrac{1}{4}=-\dfrac{\Delta}{f'_1f'_2}\times \dfrac{1}{4}\)
On multiplie les numérateurs et les dénominateurs : \(G=-\dfrac{\Delta}{4f'_1f'_2}\)
Exemple : Puissance d'une fraction
L'aire \(A\) d'un cercle de rayon \(r\) est donnée par \(A=\pi r²\).
Exprimer cette aire en fonction du diamètre \(d\).
Explication :
On remplace \(r\) par son expression en fonction en fonction de \(d\) \(\left(r=\dfrac{d}{2}\right)\) :
\(A=\pi r²=\pi{\left(\dfrac{d}{2}\right)}^2\)
On distribue la puissance au numérateur et au dénominateur : \(A=\pi\times\dfrac{d^2}{2^2}\)
On calcule numérateur et dénominateur : \(A=\pi\dfrac{ d^2}{4}\)
On se ramène à une seule fraction (penser fraction) : \(A=\dfrac{\pi}{1}\times \dfrac{d^2}{4}=\dfrac{\pi d^2}{4}\)
Exemple : Calcul littéral
Simplifier l'expression \(v=\dfrac{D_m}{\rho v\dfrac{\pi d^2}{4}}\).
Explication :
On réécrit le dénominateur sous la forme d'une seule fraction : \(v=\dfrac{D_m}{\dfrac{\rho v\pi d^2}{4}}\)
Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse \(v=\dfrac{D_m}{\textcolor{red}{\dfrac{\rho v\pi d^2}{4}}}=D_m\textcolor{red}{\times \dfrac{4}{\rho v\pi d^2}}\).
On calcule le produit de fractions : \( v= \dfrac{4D_m}{\rho v\pi d^2}\)
Méthode : Mener un calcul avec un produit ou un quotient de fraction
Distribuer les puissances : \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
Ramener toutes les fractions à un seul niveau (un seul trait de fraction)
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\textcolor{red}{\dfrac{c}{d}}}=\dfrac{a}{b}\textcolor{magenta}{\times \dfrac{d}{c}}=\dfrac{a\times d}{b\times c}\).
Multiplier les fractions : \(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}\).
Simplifier le résultat obtenu
Conseil : Penser fraction
Dans une expression de la forme
\(a\times\dfrac{b}{c}\), penser fraction c'est écrire : \(a\times \dfrac{b}{c}=\dfrac{a}{1}\times \dfrac{b}{c}= ...\)
\(\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}\) ou \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}\), penser fraction c'est écrire : \(\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{\dfrac{a}{1}}{\textcolor{red}{\dfrac{b}{c}}}=. ..\) et \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\textcolor{red}{\dfrac{c}{1}}}=...\)