Simplifier une expression avec des logarithmes

Exemple Différence de logarithmes

Au cours d'une transformation isotherme, l'énergie thermique échangée vaut :

\(Q=nRT_A\left(\ln(V_B)-\ln(V_A)\right)\)

Simplifier l'expression précédente .

Explication

  • Sachant que \(\log\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)\), il vient : \(\ln(V_B)-\ln(V_A)=\ln\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)\)

  • Finalement : \(Q=nRT_A\ln\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)\)

Exemple Logarithme d'un inverse

La demi-vie \(t_{1/2}\) d'un échantillon radioactif peut se déduire de l'expression :

\(-{\lambda}t_{1/2}=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

Écrire \(t_{1/2}\) en fonction de \(\ln(2)\)

Explication

  • On cherche à isoler \(t_{1/2}\) d'où : \(t_{1/2}=-\dfrac{\ln(1/2)}{\lambda}\)

  • Sachant que \(\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\), il vient : \(t_{1/2}=-\dfrac{-\ln(2)}{\lambda}\)

  • Finalement : \(t_{1/2}=\dfrac{\ln(2)}{\lambda}\)

Méthode

Les propriétés abordées précédemment visent souvent à:

  • Alléger des expressions littérales : on préfère par exemple écrire le \(\ln\) d'une fraction plutôt qu'une différence de \(\ln\)

  • Développer des calculs : on rencontre souvent des \(\ln\) ou des \(\log\) de produits que l'on peut développer pour travailler sur une expression littérale