Simplifier une grosse fraction
Exemple : Simplifier une fraction
La conservation de l'énergie mécanique appliquée à un solide en mouvement conduit à la relation : \(\dfrac{1}{2} m v_A^2=\dfrac{1}{2} m v_B^2+ m g h\). En isolant \( v_A\) sans chercher à simplifier, on obtient l'expression suivante : \( v_A^2=\dfrac{\dfrac{1}{2} m v_B^2- m g h}{\dfrac{1}{2} m}\).
Simplifier l'expression précédente.
Explication :
On observe :
Qu'il y a deux traits de fraction et que c'est compliqué à gérer
Que la lettre \(m\) est présente dans tous les termes de cette expression
Calcul :
On cherche d'abord à se débarrasser des multiples niveaux de traits de fraction : \( v_A^2=\dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} m v_B^2- m g h}{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} m}\).
On multiplie la fraction par \(\dfrac22\) ce qui donne :
\( v_A^2=\textcolor{blue}{\dfrac22}\times \frac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} m v_B^2- m g h }{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} m}= \dfrac{\textcolor{blue}{2\times}\left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} m v_B^2- m g h\right)}{\textcolor{blue}{2\times}\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} m}=\dfrac{ m v_B^2-\textcolor{blue}{2\times} m g h}{ m}\)
On remarque que \(m\) est présent dans tous les termes du numérateur et aussi au dénominateur : \( v_A^2=\dfrac{ \textcolor{red}{m} v_B^2-2 \textcolor{red}{m} g h}{ \textcolor{red}{m}}\).
On factorise par \(m\) au numérateur : \( v_A^2=\dfrac{ \textcolor{red}{m} \left( v_B^2-2 g h\right)}{ \textcolor{red}{m}}\)
On simplifie par \(m\) : \( v_A^2= v_B^2-2 g h\)
Exemple : Simplifier une somme de fractions
Après application des règles d'association de dipôles, on obtient l'expression suivante :
\(\dfrac{1}{ Z_E}= \text{j}C\omega+\dfrac{1}{ {R}+\dfrac{1}{ \text{j}C\omega}}\)
Exprimer \(\dfrac{1}{Z_E}\) sous la forme d'une seule fraction simplifiée.
Explication :
On observe \(\dfrac{1}{ Z_E}= \textcolor{blue}{\text{j}C\omega}+\dfrac{1}{ R+\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\text{j}C \omega}}}\)
Deux traits de fractions dans le terme de droite
Plusieurs fois le même terme (\(\textcolor{blue}{\text{j}C\omega}\))
Calcul littéral :
On commence par se ramener à une seule fraction dans le terme de droite \(\dfrac{1}{ {R}+\dfrac{1}{ \text{j}C\omega}}\)
Pour cela :
On ramène les deux termes sous la barre de fraction au même dénominateur : \(\dfrac{1}{ {R}+\dfrac{1}{ \text{j}C\omega}}=\dfrac{1}{ \dfrac{R\text{j}C\omega}{\text{j}C\omega}+\dfrac{1}{\text{j}C\omega}}\)
On réalise l'addition : \(\dfrac{1}{ {R}+\dfrac{1}{ \text{j}C\omega}}=\dfrac{1}{\dfrac{ \text{j}RC\omega+1}{ \text{j}C\omega}}\)
On appliquer la règle : "Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse" : \(\dfrac{1}{\dfrac{ \text{j}RC\omega+1}{ \text{j}C\omega}}=\dfrac{ \text{j}C\omega}{ \text{j}RC\omega+1}\)
On a donc pour l'expression de départ : \(\dfrac{1}{ Z_E}= \text{j}C\omega+\dfrac{ \text{j}C\omega}{ \text{j}RC\omega+1}\)
On somme maintenant les deux termes à droite du signe égal. Pour cela :
On transforme le terme de gauche en une fraction de même dénominateur que le terme de droite : \(\dfrac{1}{ Z_E}= \text{j}C\omega\times\textcolor{red}{\dfrac{ \text{j}RC\omega+1}{ \text{j}RC\omega+1}}+\dfrac{ \text{j}C\omega}{ \text{j}RC\omega+1}\)
On réalise l'addition : \(\dfrac{1}{ Z_E}=\dfrac{{\left( \text{j}RC\omega+1\right)} \text{j}C\omega+ \text{j}C\omega}{ \text{j}RC\omega+1}\)
Au numérateur , on remarque qu'il y a deux fois le terme \( \textcolor{blue}{\text{j}C\omega}\)
On factorise : \(\dfrac{1}{ Z_E}=\dfrac{{\left( \text{j}RC\omega+1\right)} \textcolor{blue}{\text{j}C\omega}+\textcolor{blue}{\text{j}C\omega}}{ \text{j}RC\omega+1}=\dfrac{{\left(( \text{j}RC\omega+1)+1\right)}\times \textcolor{blue}{\text{j}C\omega}}{ \text{j}RC\omega+1}=\dfrac{{( \text{j}RC\omega+2)} \text{j}C\omega}{ \text{j}RC\omega+1}\)
Il n'y a plus de simplifications possibles sans faire apparaître de nouveau un trait de fraction supplémentaire.
Méthode : Pour simplifier une écriture :
Manipuler les fraction pour n'avoir qu'un seul trait de fraction.
Factoriser tout ce qui peut l'être au numérateur et au dénominateur
Simplifier par la grandeur factorisée.
Attention :
\(\dfrac aa=1\) et non zéro !
Conseil :
Penser à simplifier une expression dès que possible afin d'éviter d'obtenir des expressions finales trop lourdes à gérer