Simplifier une écriture avec des fonctions trigonométriques
Exemple :
La résolution d'un problème de mécanique conduit à l'expression : \( L=\dfrac{2 {v}_0^2 \cos^2(\alpha) \tan(\alpha)}{ g}.\)
On cherche alors la valeur de \(\alpha\) qui permet d'atteindre une certaine distance \(L\). Pour résoudre cette équation trigonométrique de façon analytique, il faut arriver à une expression avec une seule fonction de \(\alpha\). On demande donc :
Simplifier l'expression précédente.
Explication :
On se ramène à une expression avec les fonctions de base sinus et cosinus :
On remplace \(\tan(\alpha)\) par son expression en fonction de \(\sin(\alpha)\) et \(\cos(\alpha)\) soit :
\( L=\dfrac{2 {v}_0^2 \cos^2(\alpha) \textcolor{red}{\tan(\alpha)}}{ g}=\dfrac{2 {v}_0^2 \cos^2(\alpha)\textcolor{red}{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}}{ {g}}\)
On simplifie par \(\cos(\alpha)\) d'où : \(L=\dfrac{2 {v}_0^2 \textcolor{red}{\cos^2(\alpha)}\dfrac{\sin(\alpha)}{\textcolor{red}{\cos(\alpha)}}}{ {g}}=\dfrac{2 {v}_0^2 \cos(\alpha)\sin(\alpha)}{ {g}}\)
On utilise la relation de trigonométrie : \(\sin(2\alpha)=2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\) pour se ramener à une seule fonction : \(L=\dfrac{2 {v}_0^2 \textcolor{red}{\cos(\alpha)\sin(\alpha)}}{ {g}}=\dfrac{ {v}_0^2 \textcolor{red}{\sin(2\alpha)}}{ {g}}\)
Méthode : Pour simplifier une écriture :
Utiliser la définition de la tangente pour travailler uniquement avec des sinus et des cosinus
Simplifier ce qui peut l'être
Fractions, somme avec des carrés de sinus et/ou de cosinus
Se ramener à une seule fonction en utilisant les relations trigonométriques
Faire apparaître la fonction tangente lorsque cela simplifie l'écriture.
Rappel : Formules de trigonométrie
Formules du lycée :
\(\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)
\(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1\)
Autres formules utiles en physique :
\(\sin(2\alpha)=2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\)
\(\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\)
Attention :
Il n'est pas toujours possible de se ramener à une expression simple.