Calculer une primitive usuelle
Exemple : Primitive d'un polynôme avec condition initiale
Un ballon lancé verticalement d'un point d'ordonnée \(y_0\) dans un repère choisi par l'utilisateur, possède une vitesse v qui peut s'écrire sous la forme \(v(t) = gt+v_0\)
où \(g\) , et \(v_0\) sont des constantes.
Déterminer l'expression de la position \(y(t)\) qui est la primitive de cette fonction \(v(t)\) qui vaut \(y_0\) lorsque \(t=0\).
Explication :
On identifie que \(t\) est la variable et on reconnaît une somme de fonctions puissance : \(v(t) = g\textcolor{red}{t}+v_0\)
On détermine la primitive de v(t)
La primitive de \(gt\) par rapport à \(t\) est : \(\dfrac12 g\textcolor{red}{t^2}\)
La primitive de \(v_0\) par rapport à \(t\) est \(v_0\textcolor{red}{t}\)
Les primitives de \(v(t)\) sont donc les fonctions \(y(t)=\dfrac12 g{t^2}+v_0{t}+K\) avec \(K\) une constante.
On identifie la constante avec les conditions initiales
\(y(0) =y_0=\dfrac12 g\times {0^2}+v_0\times 0+K=K\)
On a donc : \(y(t)=\dfrac12 g{t^2}+v_0t+y_0\)
Exemple : Primitive d'une somme de fonctions puissances.
Une particule en mouvement sur un axe \((\mbox{Oz})\) est soumise à une force \(F(z) = -kz + \dfrac{a}{z^3}\)
\(k\) et \(a\) sont deux constantes positives. Le potentiel \(V(z)\) associé à cette force est défini par : \(F(z) = - \dfrac{\mbox{d}V(z)}{\mbox{d}z}\)
Déterminer l'expression du potentiel \(V(z)\) à une constante près.
Explication :
On identifie que \(z\) est la variable et on la surligne: \(F(z) = -k\textcolor{red}{z} + \dfrac{a}{\textcolor{red}{z}^3}\)
On détermine la primitive de chacun des termes de l'addition. On sait que la primitive d'une fonction de type \(x \longmapsto x^n\) est \(x \longmapsto\dfrac{1}{n+1} x^{n+1}\)
La primitive de \(-kz\) est \(G(z) =-k\dfrac{\textcolor{red}{z}^2}{2}\) : on applique la règle avec \(n=1\)
La primitive de \(\dfrac{a}{z^3}\) est \(- \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{\textcolor{red}{z}^2}\): on applique la règle avec \(n = -3\)
Calcul et présentation du résultat
On obtient \(V(z) =k\dfrac{z^2}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{z^2}+K\) où \(K\) est une constante à déterminer à l'aide d'une condition initiale.
Méthode : Calculer la primitive d'une grandeur étant donnée sa dérivée et une condition initiale.
Repérer
La grandeur qui joue le rôle de variable \(x\) (en maths), et la surligner
Les grandeurs qui jouent le rôle de paramètre ou de constante (nombre en maths)
Identifier la (ou les) forme(s) de référence (voir rappel)
Calculer chacune des primitives de la somme
Donner le résultat à une constante près
Utiliser une condition particulière pour déterminer la constante
Conseil : Pour mieux se repérer
Surligner (ou entourer) la variable par rapport à laquelle on intègre
Attention : Reconnaître la dérivée du logarithme
Pour les fonctions puissances négatives définies par \(\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}\), la primitive s'obtient en utilisant la formule classique de la dérivée / primitive d'une puissance :
\(\dfrac {1}{-n+1} x ^{-n+1}=\dfrac {-1}{(n-1) x ^{n-1}}\) pour \(n\neq 1\)
Mais attention, pour \(n=1\), la primitive est le logarithme : \(\dfrac{1}{x}\) a pour primitives \(\ln (x) + C\) (avec la formule sur les puissances vous auriez une division par zéro...)
Rappel : Les primitives usuelles
On ne donne pas de tableau de primitives. Il est préférable d'apprendre à utiliser à l'envers le tableau des dérivées !
