Dériver une fonction usuelle
Exemple : Dérivée d'un polynome
Un point mobile se déplace sur un axe muni d'un repère d'espace \(\left(O ;\vec i \right)\)
L'enregistrement de son mouvement permis d'obtenir l'expression de ses coordonnées en fonction du temps : \(x(t) = \dfrac12 g t²+v_0 t+x_0\)
où \(g\) , \(v_0\) et \(x_0\) sont des constantes.
Donner la dérivée de \(x\) par rapport à \(t\).
Explication :
On identifie que \(t\) est la variable et on on reconnaît une somme de fonctions :
\(x(\textcolor{blue}{t}) = 0,5 g \textcolor{blue}{t}^2+v_0 \textcolor{blue}{t}+x_0\)
On dérive chacune d'entre elles individuellement :
\(\left(\dfrac12g \textcolor{blue}{t}^2\right)'=2\times \dfrac12 g \textcolor{blue}{t}=gt\)
\(\left( v_0 \textcolor{blue}{t}\right)'=v_0\)
\((x_0)'=0\)
On obtient : \(\dfrac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=0,5g.2t+v_0=gt+v_0\)
Exemple : Dérivée d'un quotient de fonctions composées
Dans un circuit électrique, la puissance \(P\) dissipée par une résistance \(R\) variable, s'exprime par : \(~P = \dfrac{R.E^2}{(R_0+R)^2}\) où \(E\) et \(R_0\) sont des constantes.
Donner la dérivée de \(P\) par rapport à \(R\).
Explication :
Raisonnement :
On identifie que \(R\) est la variable : \(P = \dfrac{\textcolor{blue}{R}.E^2}{(R_0+\textcolor{blue}{R})^2}\)
On reconnaît un quotient de deux fonctions \(\dfrac{u}{v}\)
avec \(u= R.E^2\), de la forme \(u(x) =a\cdot x\),
et \(v=(R_0+R)^2\), de la forme \(v(x) =(a+x)^2\).
On calcule \(u'= E^2\) et \(v'=2.(R_0+\textcolor{blue}{R})\)
On a donc : \(P'(R)=\dfrac{\mbox{d}P}{\mbox{d}R}=\dfrac{E^2.((R_0+R)^2)-(2.(R_0+R)).(R.E^2)}{((R_0+R)^2)^2}\)
Simplification et présentation du résultat
On factorise \(E^2\) et on obtient : \(\dfrac{\mbox{d}P}{\mbox{d}R}=E^2.\dfrac{(R_0+R)^2-2.(R_0+R)(R)}{(R_0+R)^4}\)
On factorise puis on simplifie \((R_0+R)\) présent au numérateur et au dénominateur : \(\dfrac{\mbox{d}P}{\mbox{d}R}=E^2.\dfrac{(R_0+R)-2R}{(R_0+R)^3}\)
On développe le numérateur : \(\dfrac{\mbox{d}P}{\mbox{d}R}=E^2.\dfrac{R_0-R}{(R_0+R)^3}\)
Méthode : Calculer une dérivée
Repérer
La grandeur qui joue le rôle de variable (\(x\) en maths) et la surligner,
Les grandeurs qui jouent le rôle de paramètre ou de constante (nombre en maths)
Identifier la forme de référence (voir rappel)
Calculer la dérivée
Factoriser (et simplifier si fractions)
Conseil : Repérer la variable qui joue le rôle de x.
En général en physique, les grandeurs ne s'appellent pas \(f\) et les variables ne s'appellent pas \(x\). C'est pour cela que l'on note la dérivée en indiquant explicitement par rapport à quelle lettre on dérive : \(f~'(x)=\dfrac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}\).
Le petit "d" est une notation qui rappelle la définition de la dérivée. \(\mbox{d}f\) représente une toute petite variation de \(f\), et \(\mbox{d}x\) représente une toute petite variation de \(x\).
Pour éviter les erreurs et faire le lien avec le cours de mathématiques, on vous conseille de surligner (ou entourer) la variable par rapport à laquelle on dérive
Attention : Pour éviter les erreurs
N'utiliser la forme \(\dfrac{u}{v}\) que quand il n'y a vraiment aucune autre forme possible comme : \(a\cdot u\), \(u^nv^{-m}\), ...
Rappel : Les dérivées usuelles
