Calculer un produit scalaire
Exemple : Calcul avec les composantes
Le travail (en J) fourni par une force \(\overrightarrow{F}\) (intensité en Newton \(\mbox{N}\)) sur un objet qui se déplace en suivant le vecteur \(\overrightarrow{\ell}\) (norme en m) est défini par un produit scalaire : \(W = \overrightarrow{F} \cdot\overrightarrow{\ell}\).
On considère un solide qui se déplace de 1 mètre selon \( \overrightarrow{u_x} \) et de 2 mètres selon \( \overrightarrow{u_y}\) en étant soumis à la force \(\overrightarrow{F} = 3 \overrightarrow{u_x} -2\overrightarrow{u_y}\) (intensité en Newton \(\mbox{N}\)).
Calculer le travail de \(\overrightarrow{F}\) lors du déplacement \(\overrightarrow{\ell}\).
On rappelle que \(1\mbox{ N}\cdot\mbox{m}=1\mbox{ J}\)
Explication :
Calcul littéral:
OPTION 1 : On remplace chaque vecteur par son expression et on calcule le produit scalaire : \(W = \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{\ell} =\left(3 \overrightarrow{u_x} -2\overrightarrow{u_y}\right)\cdot\left(1 \overrightarrow{u_x}+2\overrightarrow{u_y}\right)\)
OPTION 2 : les deux vecteurs sont exprimés dans la même base, on peut donc utiliser la formule : \(W=F_xl_x+F_yl_y\)
Application numérique :
On remplace ensuite les composantes par leurs valeurs :
\(W= (3 \mbox{ N})\times(1\mbox{ m})+(-2 \mbox{ N})\times(2\mbox{ m})= 3 \mbox{ N}\cdot\mbox{m} -4 \mbox{ N}\cdot\mbox{m}=-1 \mbox{ N}\cdot\mbox{m}\)
On réalise la conversion d'unité : \(W=-1 \mbox{ J}\)
Exemple : Calcul avec la norme et l'angle
Une péniche avance sur l'eau et est tirée par des chevaux. Sur une durée de 10 secondes, la péniche avance de 1 mètre alors que les chevaux tirent avec une force de 200 N. Cette force fait un angle de 60° avec le déplacement de la péniche.
On rappelle que le travail (en J) fourni par une force \(\overrightarrow{F}\) (intensité en Newton \(\mbox{N}\)) sur un objet qui se déplace en suivant le vecteur \(\overrightarrow{\ell}\) (norme en m) est définie par un produit scalaire : \(W = \overrightarrow{F} .\overrightarrow{\ell}\).
Déterminer la valeur du travail fourni pendant ces dix secondes.
On rappelle que \(1\mbox{ N}\cdot\mbox{m}=1\mbox{ J}\)
Explication :
On connaît les normes de chacun des vecteurs ainsi que l'angle entre ces vecteurs, on utilise donc la formule avec le cosinus : \(W=\left\|\overrightarrow F\right\|\times \left\|\overrightarrow{\ell}\right\|\cos\left(\overrightarrow F,\overrightarrow L\right)\)
Application numérique :
\(W=(1\mbox{ m})\times (200 \mbox{ N})\times \cos(60^{\circ})\)
On calcule la valeur et on regroupe les unités : \(W=100 \mbox{ m}\cdot\mbox{N}\)
On réalise le changement d'unité : \(W=100 \mbox{ J}\)
Méthode : Calcul avec les composantes
Décomposition dans la base
On commence par décomposer les vecteurs dans une base orthonormée (revoir la fiche "projection d'un vecteur")
Calcul littéral
On réalise le produit de vecteurs (l'opération peut être plus complexe mais cette méthode marche toujours)
Les termes croisés s'annulent car les vecteurs de base sont orthogonaux : \(\overrightarrow{u_x}\cdot\overrightarrow{u_y}=0\)
On simplifie l'expression littérale obtenue
On réalise l'application numérique
Méthode : Calcul avec les normes et l'angle entre les vecteurs
On utilise la relation : \(\overrightarrow{U}\cdot \overrightarrow{V} = \left\|\overrightarrow{U}\right\| \times \left\|\overrightarrow{V} \right\| \cos \left(\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}\right)\),
où \(\left(\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}\right)\) est l'angle entre \(\overrightarrow{U}\) et \(\overrightarrow{V}\).
Calcul littéral :
On commence par écrire la formule en l'appliquant au cas considéré
On mène le calcul littéral et les simplifications possibles
Application numérique :
On remplace les grandeurs par leurs valeurs avec les unités
On mène les calculs
On réalise les changements d'unités nécessaires
Attention : Le résultat d'un produit scalaire est un nombre
Le produit scalaire de 2 vecteurs donne un nombre. Ce nombre peut être positif ou négatif en fonction de l'angle entre les deux vecteurs.
Si les deux vecteurs "tirent dans le même sens" : le résultat est positif
Si les deux vecteurs "tirent dans des sens opposés" : le résultat est négatif