Sommer des vecteurs

Exemple Somme de 3 vecteurs

Un solide est soumis à trois forces \(\overrightarrow{P}, \overrightarrow{F}\) et \(\overrightarrow{T}\). Dans la base \(\left(\overrightarrow {u_x}, \overrightarrow {u_y}\right)\) ces forces sont modélisés par les vecteurs : \(\overrightarrow {P} = 2a \overrightarrow {u_y}\), \( \overrightarrow {F} = -2\overrightarrow {u_x} + 3\overrightarrow {u_y}\) et \(\overrightarrow {T} = -a\overrightarrow {u_x} + b\overrightarrow {u_y}\) avec \(a\) et \(b\) deux nombres réels.

Donner l'expression du vecteur \(\overrightarrow{F_{tot}}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}\) .

Explication

  • On écrit la somme de vecteurs en utilisant la décomposition dans la base \(\left(\overrightarrow {u_x}, \overrightarrow {u_y}\right)\) :

    \(\overrightarrow{F_{tot}}=2a \overrightarrow {u_y}+-2\overrightarrow {u_x} + 3\overrightarrow {u_y}+-a\overrightarrow {u_x} + b\overrightarrow {u_y}\)

  • On regroupe ensemble les termes portés par le même vecteur de base :

    \(\overrightarrow{F_{tot}}=(-2-a)\overrightarrow {u_x} + (2a+3+b) \overrightarrow {u_y} \)

  • Si on souhaite utiliser l'écriture en colonne, alors on reporte les expressions de chaque composantes : \(\overrightarrow{F_{tot}} \mbox{ } \begin{pmatrix}-2+-a\\2a+3+b \end{pmatrix}\)

Méthode Calculer une somme ou une différence de vecteurs à l'aide des composantes dans une base orthonormée

  1. Déterminer les composantes de chaque vecteur dans la base \((\overrightarrow {u_x}, \overrightarrow {u_y})\)

  2. Réaliser la somme ou la différence de vecteurs en écrivant chaque vecteur en fonction des vecteurs de base

  3. Regrouper les termes en facteur du même vecteur de base

Attention La norme de la somme n'est pas égale à la somme des normes

La norme d'une somme de \(\left\|\overrightarrow U+\overrightarrow V \right\|\) n'est pas égale à la somme d'une norme de vecteurs \(\left\|\overrightarrow U \right\|+\left\|\overrightarrow V \right\|\) comme on peut le voir sur le schéma ci-dessous.

Remarque Écriture avec les vecteurs de base ou écriture en colonne ?

  • L'écriture avec les vecteurs de base aide à comprendre ce que l'on fait et évite de nombreuses erreurs, en particulier lorsque l'on travaille dans plusieurs bases dans un même exercice (mécanique).

  • L'écriture avec les vecteurs colonnes est plus efficace quand on est expert(e) pour mener les calculs lorsque l'on reste toujours dans la même base.