Passer de la notation algébrique à la notation exponentielle, et inversement
Exemple : Notation exponentielle vers notation algébrique
Une onde déphasée de \(\phi\) par rapport à une onde de référence est représentée par son amplitude complexe \(A = a \mbox{e}^{\text{j}\phi}\) où \(a\) est un nombre réel.
Notation : \(\text{j}\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(\text{i}\) en mathématiques, on a donc : \( \text{j}^2=-1\)
Déterminer les parties réelle et imaginaire de \(A\).
Explication :
On utilise la définition trigonométrique de l'exponentielle complexe soit :
\(\mbox{e}^{\text{j}\phi} = \cos(\phi) +\text{j} \sin( \phi)\)
\(A = a \mbox{e}^{\text{j}\phi} = a\left( \cos(\phi) + \text{j} \sin( \phi) \right) \)
On développe le calcul pour séparer parties réelle et imaginaire et on obtient :
\(A = a \cos(\phi) + \text{j} a \sin( \phi)\)
On identifie : \( Im(A)=a \sin( \phi)\) et \(Re(A)=a \cos( \phi)\)
Méthode : De l'écriture exponentielle à l'écriture algébrique
Remplacer l'écriture exponentielle par l'écriture trigonométrique en utilisant la relation \(\mbox{e}^{\text{j}\phi}=\cos(\phi)+\text{j}\sin(\phi)\)
Développer l'expression
Factoriser pour identifier la partie réelle et la partie imaginaire de l'expression
Exemple : Notation algébrique vers notation exponentielle
En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe appelé impédance complexe et noté \(Z\). L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance \(R\) et d'une bobine d'inductance \(L\) en série est : \(Z = R + \text{j}L\omega\), \(\omega\) est la pulsation du signal électrique.
Notation : En électricité \(\text{j}\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(\text{i}\) en mathématiques, on a donc \(\text{j}^2=-1\)
Écrire l'écriture exponentielle de \(Z\).
Explication :
On calcule le module et l'argument du nombre complexe en utilisant leurs définitions
On calcule le module : \(|Z|= \sqrt{R^2+L^2\omega^2}\)
On calcule l'argument : \(arg(Z) = \phi =\arctan \left( \dfrac{L\omega}{R}\right)\)
Présentation du résultat :
\(Z = |Z|~\mbox{e}^{\text{j}\phi}= \sqrt{R^2+L^2\omega^2}~\mbox{e}^{\text{j}\arctan \left( \frac{L\omega}{R}\right)}\)
Méthode : De l'écriture algébrique à l'écriture exponentielle
Calculer le module (voir fiche précédente)
Calculer l'argument (voir fiche précédente)
Écrire l'expression exponentielle en utilisant sa définition
Rappel :
Soit un nombre complexe \(z=a+\text{j}b= |z|\cos(\phi) + \text{j}|z| \sin( \phi)=|z|\mbox{e}^{\text{j}\phi} \).
Son module est noté \(\vert z\vert\) et vaut \(|z|= \sqrt{a^2+b^2}\).
On peut calculer son argument \(\phi\) en utilisant les relations suivantes :
\(\cos(\phi) = \dfrac{a}{|z|}\), \(\sin(\phi) = \dfrac{b}{|z|}\) et \(\tan(\phi) = \dfrac{b}{a}\)