Trouver le module d'un nombre complexe
Exemple : Module d'un nombre complexe écrit sous la forme a+jb
L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance \(R\) et d'une bobine d'inductance \(L\) en série est : \(Z = R + \text{j}L\omega\)
Calculer le module de \(Z\) .
Explication :
On identifie la partie réelle et la partie imaginaire :
Partie réelle : \(R\)
Partie imaginaire : \(L\omega\)
On calcule le module : \(|Z|=\sqrt{R^2+(L\omega)^2}\)
Exemple : Module d'un quotient de nombre complexe
L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance \(R\) et d'une bobine d'inductance \(L\) en parallèle est : \(Z = \dfrac{\text{j}LR\omega}{R + \text{j}L\omega}\)
Calculer le module de \(Z\)
Explication :
Le module d'un quotient est égal au quotient des modules : \(\left|Z\right|=\left| \dfrac{\text{j}LR\omega}{R + \text{j}L\omega}\right|=\dfrac{\mid \text{j}LR\omega \mid}{\mid R + \text{j}L\omega \mid} \)
On calcule le module du numérateur et du dénominateur séparément : \(|Z|=\dfrac{LR\omega}{\sqrt{R^2+L^2\omega^2}}\)
Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe
Si le nombre est écrit sous la forme \(a+\text{j}b\) :
Identifier la partie réelle et la partie imaginaire
Utiliser la définition du module.
Si le nombre est écrit sous la forme d'un quotient de nombres complexes (avec \(\text{j}\) en dessous de la barre de fraction) :
On écrit que \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|= \dfrac{\mid z_1 \mid}{\mid z_2 \mid}\)
On calcule ensuite séparément le module de \(z_1\) et de \(z_2\)
On simplifie autant que possible le résultat
Rappel : Propriétés du module d'un nombre complexe
Le module de \(z=a+\text{j}b\) est noté \(\vert z\vert\) et vaut \(|z|= \sqrt{a^2+b^2}\).
La relation \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|= \dfrac{\mid z_1 \mid}{\mid z_2 \mid}\)
Attention : Distribuer les carrés
Attention à bien utiliser des parenthèses pour mettre au carré la partie réelle et la partie imaginaire de \(Z\) dans le calcul du module. Et ensuite, faire attention à bien distribuer le carré et à utiliser les identités remarquables \((c+d)^2=c^2+2cd+d^2\) lorsque c'est nécessaire.