Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un quotient de complexes
Exemple : Écrire l'inverse d'un nombre complexe sous forme algébrique
L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance \(R\) et d'une bobine d'inductance \(L\) en série est donné par l'expression \(Z = R + \text{j}L\omega\).
La conductance de ce dipôle est définie comme l'inverse de l'impédance : \(Y = \dfrac{1}{Z}\).
\(\omega\) est la pulsation du signal électrique.
En électricité \(\text{j}\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(\text{i}\) en mathématiques, on a donc \(\text{j}^2=-1\)
Calculer la partie imaginaire de \(Y\) .
Explication :
On calcule \(Y\) puis on l'écrit sous la forme \(Y=a+\text{j}b\)
On calcule : \(Y = \dfrac{1}{R+ \text{j}L\omega} \).
On élimine \(\text{j}\) au dénominateur en multipliant par le complexe conjugué au numérateur et au dénominateur : \(Y=\dfrac{1}{R+ \text{j}L\omega}\times \dfrac{R-\text{j}L\omega}{R - \text{j}L\omega}\)
On calcule le dénominateur en reconnaissant le produit \((A+B)(A-B)\) et on obtient : \(Y = \dfrac{R-\text{j}L\omega}{R^2+L^2\omega^2}\).
On sépare partie réelle et imaginaire \(Y = \dfrac{R}{R^2+L^2\omega^2}-\text{j}\dfrac{L\omega}{R^2+L^2\omega^2}\).
Présentation du résultat :
On identifie : \( Im(Y)=-\dfrac{L\omega}{R^2+L^2\omega^2}\)
Méthode : Écrire un nombre complexe fractionnaire sous forme algébrique
Identifier le nombre imaginaire \(\text{i}\) ou \(\text{j}\) et déterminer si le dénominateur de la fraction est complexe ou réel
Si le dénominateur de la fraction N'est PAS réel :
Multiplier le numérateur et dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur
Ex : le complexe conjugué de \(a+\text{j}b\) est \(a-\text{j}b\)
Calculer le dénominateur en utilisant la relation : \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)
Calculer \(\text{j}^2=-1\) et faire attention aux signes
Calculer le numérateur de la fonction en suivant les priorités opératoires
D'abord ce qui est entre parenthèses, puis multiplications, puis additions
Séparer partie réelle et imaginaire
Factoriser au maximum
Conseil : Toujours factoriser le nombre imaginaire j
nombre complexe sous la forme \(z=a+\text{j}b\)
Remarque : L'inverse d'un nombre complexe
\(z=a + \text{j}b\), a et b sont deux nombres réels.
Alors l'inverse de \(z\) est \(\dfrac 1z=\dfrac{1}{a + \text{j}b}=\dfrac{1}{a + \text{j}b} \times \dfrac{a-\text{j}b}{a - \text{j}b}=\dfrac{a-\text{j}b}{a^2+b^2}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\text{j}\dfrac{b}{a^2+b^2}\)