Somme et produit de nombres complexes en notation exponentielle
Exemple : Opérations en notation exponentielle
Une onde est représentée par son amplitude complexe \( A = a \mbox{e}^{\text{j}\phi}\) où a est un nombre réel.
Son intensité est définie par \(I = AA^*\) où \(A^*\) est le nombre conjugué de \(A\).
C alculer \(I\).
Explication :
\(I=a \mbox{e}^{\text{j}\phi} \times a \mbox{e}^{-\text{j}\phi}\)
On regroupe les nombres réels et les exponentielles : \(I=\left(a a\right)\left( \mbox{e}^{\text{j}\phi} \mbox{e}^{-\text{j}\phi}\right)\)
On calcule chaque partie :
\(aa=a^2\)
\(\mbox{e}^{\text{j}\phi}\mbox{e}^{-\text{j}\phi}=\mbox{e}^{\text{j}\phi-\text{j}\phi}=\mbox{e}^0=1\)
On écrit donc le résultat : \(I=a^2\)
Méthode : Calculer un produit d'exponentielles complexes
Identifier les exponentielles complexes (avec présence d'un \(\text{i}\) ou d'un \(\text{j}\))
Mener les calculs
Séparer les modules réels des exponentielles complexes
Calculer les produits d'exponentielles complexes en appliquant les règles des puissances : \(\mbox{e}^a \mbox{e}^b=\mbox{e}^{a+b}\), \(\dfrac{\mbox{e}^ a}{\mbox{e}^ b}=\mbox{e}^{a-b}\)
Factoriser ce qui peut être factorisé (en général \(j\) et \(\omega\) ou \(\phi\) )
Attention : Sommes d'exponentielles
Il n'y a pas de formule pour calculer \(\mbox{e}^a+\mbox{e}^b\).
Il est parfois utile de factoriser l'une des exponentielles dans une somme :
\(\mbox{e}^a+\mbox{e}^b=\mbox{e}^a\left(1+\mbox{e}^{b-a}\right)\).