Somme et produit de nombres complexes en notation algébrique
Exemple : Somme de nombres complexes en notation algébrique
L'impédance de l'association en parallèle de 2 dipôles d'impédances respectives \(Z_1\) et \(Z_2\) est \(Z = \dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}\)
Ici \(Z_1 = R_1+\text{j}L_1\omega\) et \(Z_2 = R_2+jL_2\omega\) sont les impédances complexes de 2 bobines de résistances \(R_1\) et \(R_2\) et d'inductances \(L_1\) et \(L_2\).
Notations : \(\omega\) est la pulsation du signal électrique. En électricité \(\text{j}\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(\text{i}\) en mathématiques, on a donc \(\text{j}^2=-1\)
Calculer le dénominateur de \(Z\).
Explication :
On additionne les deux impédances : \(Z_1+Z_2 = R_1+\text{j}L_1\omega +R_2+\text{j}L_2\omega\)
On regroupe les parties réelle et imaginaire : \(Z_1+Z_2 = \left(R_1+R_2\right) +\left(\text{j}L_1\omega +\text{j}L_2\omega\right)\)
On factorise en mettant \( j\) en facteur : \(Z_1+Z_2 = R_1+R_2 +\text{j}\left(L_1\omega +L_2\omega\right)\).
On factorise encore en mettant \(\omega\) en facteur : \( Z_1+Z_2 = R_1+R_2 +\text{j}(L_1 +L_2)\omega\)
Exemple : Produit de nombres complexes en notation algébrique
L'impédance de l'association en parallèle de 2 dipôles d'impédances respectives \(Z_1\) et \(Z_2\) est \(Z = \dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}\)
Ici \(Z_1 = R_1+\text{j}L_1\omega\) et \(Z_2 = R_2+\text{j}L_2\omega\) sont les impédances complexes de 2 bobines de résistances \(R_1\) et \(R_2\) et d'inductances \(L_1\) et \(L_2\).
Notations : \(\omega\) est la pulsation du signal électrique. En électricité \(\text{j}\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(\text{i}\) en mathématiques, on a donc \(\text{j}^2=-1\)
Calculer le numérateur de \(Z\).
Explication :
On pose le produit : \(Z_1Z_2 = \left(R_1+\text{j}L_1\omega \right)\left( R_2+\text{j}L_2\omega \right)\)
On développe : \(Z_1Z_2 = R_1R_2+R_1 \text{j} L_2 \omega+ R_2 \text{j} L_1\omega +\text{j}^2 L_1L_2\omega^2\)
On sait que \(\text{j}^2=(-1)\), on a donc \(Z_1Z_2 = R_1R_2+R_1\text{j} L_2 \omega+ R_2 \text{j}L_1\omega - L_1L_2\omega^2\)
On regroupe parties réelle et imaginaire : \(Z_1Z_2 = R_1R_2- L_1L_2\omega^2+R_1 \text{j} L_2 \omega+ R_2 \text{j} L_1\omega\)
On factorise en mettant \( j\) en facteur :\(Z_1Z_2 = R_1R_2- L_1L_2\omega^2+\text{j}\left(R_1 L_2 \omega+ R_2 L_1\omega \right)\)
On factorise encore en mettant \(\omega\) en facteur : \( Z_1Z_2 = R_1R_2- L_1L_2\omega^2+\text{j}\left(R_1 L_2 + R_2 L_1 \right)\omega\)
Méthode : Mener des calculs avec des nombres complexes
Identifier le symbole qui représente l'unité imaginaire : le plus souvent
\(\text{i}\) en mathématiques
\(\text{j}\) en physique
Mener les calculs en suivant les priorités opératoires
Calculer les termes à l'intérieur des parenthèses
Regrouper les termes réels et les termes imaginaires
Factoriser ce qui peut l'être (\(\text{j}\), souvent \(\omega\) en physique)
Réaliser les multiplications
Bien distribuer et développer tous les termes qui ne sont pas réels purs ou imaginaires purs
Remplacer tous les \(\text{j}^2\) par \(-1\)
Réaliser les additions
Séparer partie réelle et partie imaginaire
Factoriser de nouveau tout ce qui peut l'être (\(\text{j}\), \(\omega\) ...)
Terminer tous vos calculs en vous demandant s'il reste quelque chose qui pourrait encore être factorisé.
Remarque : Séparer les nombres réels des nombres imaginaires purs
Lorsque l'on travaille en notation algébrique, on sépare toujours les nombres réels des nombres imaginaires purs
En regroupant d'abord tous les réels,
Puis tous les imaginaires