Trouver la solution d'une équation différentielle du premier ordre (par identification)

Exemple Équation différentielle de la forme y'=ay

Le nombre \(N(t)\) de noyaux radioactifs d'un échantillon vérifie l'équation différentielle : \(\dfrac{\mbox{d}N}{\mbox{d}t}=-{\lambda}N(t)\).

À la date \(t=0\), le nombre de noyaux vaut \(N_0\)

Déterminer l'expression de \(N(t)\).

Explication

  • On reconnaît une équation différentielle de la forme \(y'=ay\) dont les solutions sont de la forme : \(y=k\mbox{e}^{ax}\) avec \(k\) constante d'intégration.

  • Par identification, on a : \(x\equiv{t}\), \(y\equiv{N(t})\) et \(a\equiv{-{\lambda}}\)

    Ainsi : \(N(t)=k\mbox{e}^{-{\lambda}t}\)

  • \(k\) est déterminée grâce à la condition initiale sur \(N(t)\)

    À \(t=0\), on a \(N(t=0)=kv^{-{\lambda}\times{0}}=k\mbox{e}^0=k=N_0\)

  • Finalement : \(N(t)=N_0\mbox{e}^{-{\lambda}t}\)

  • On vérifie que quand on dérive \(N(t)\), on retrouve bien l'équation différentielle :

    \(\dfrac{\mbox{d}N}{\mbox{d}t}=-\lambda N_0\mbox{e}^{-\lambda t}=-\lambda N(t)\), CQFD

Exemple Équation différentielle de la forme y'=ay+b

La température \(T(t)\) d'un système incompressible vérifie l'équation différentielle :

\(\dfrac{dT(t)}{dt}=-\dfrac{hS}{mC}T(t)+\dfrac{hS}{mC}T_e\). À la date \(t=0\), la température du système vaut \(T_i\).

Déterminer l'expression de \(T(t)\).

Explication

  • On reconnaît une équation différentielle de la forme \(y'=ay+b\) dont les solutions sont de la forme : \(y=k\mbox{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\) avec \(k\) constante d'intégration.

  • Par identification, on a : \(x\equiv{t}\), \(y\equiv{T(t})\), \(a\equiv{-\dfrac{hS}{mC}}\) et \(b\equiv{\dfrac{hS}{mC}T_e}\)

    soit \(-\dfrac{b}{a}\equiv{-\dfrac{\frac{hS}{mC}T_e}{-\dfrac{hS}{mC}}}=T_e\)

    Ainsi : \(T(t)=k\mbox{e}^{-\frac{hS}{mC}t}+T_e\)

  • \(k\) est déterminée grâce à la condition initiale sur \(T(t)\) :

    À \(t=0\), on a \(T(t=0)=k\mbox{e}^{-\frac{hS}{mC}\times{0}}+T_e=k+T_e=T_i\), d'où : \(k=T_i-T_e\)

  • Finalement : \(T(t)=(T_i-T_e)\mbox{e}^{-\frac{hS}{mC}t}+T_e\)

Méthode Résoudre une équation différentielle du premier ordre

  1. Écrire l'équation différentielle sous la forme \(y'=ay\) ou \(y'=ay+b\)

    (la dérivée de la fonction doit être "seule" et à gauche du signe égal)

  2. Identifier, dans le système physique étudié, les grandeurs correspondant à \(y\), \(x\), \(a\) et \(b\)

  3. En déduire la forme générale des solutions : \(y=k\mbox{e}^{ax}\) ou \(y=k\mbox{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\) avec \(k\) constante d'intégration.

  4. Grâce à une condition particulière sur la grandeur étudiée, déterminer la constante d'intégration.

Attention Quelques variations d'écriture

En physique, il est assez fréquent d'écrire une équation différentielle du premier ordre sous la forme \(y'+ay=0\) plutôt que \(y'=ay\)

Les solutions sont alors de la forme \(y=k\mbox{e}^{-ax}\)

La forme \(y'=ay\) choisie en mathématiques est en accord avec la définition de la fonction exponentielle qui est sa propre dérivée.