Résoudre une équation du second degré dans R
Exemple : Équation du second degré simple
Un fauteuil électrique est alimenté par un générateur de force électromotrice \(E\) et de résistance interne \(r\) non nulle. On appelle \(I\) l'intensité qui circule dans le circuit électrique. La puissance fournie aux bornes du générateur lors du fonctionnement est \(P=(E-rI).I.\)
Calculer les expressions possibles de l'intensité \(I\) qui circule dans le circuit en fonction de \(E\), \(P\) et \(r\) sachant que \(E^2>4rP\).
Explication :
On ne peut pas simplement isoler \(I\). On va donc développer l'expression pour se ramener à une équation du second degré (avec \(I^2\)).
Calcul :
On développe et on obtient : \(P=E.\textcolor{red}{I} - r.\textcolor{red}{I}^2\).
On reconnaît une équation du second degré dont l'inconnue est \(\textcolor{red}{I}\)
On se ramène à la forme caractéristique de l'équation du second degré (de la forme \(a.x^2+b.x+c=0\)) : \(r\textcolor{red}{I}^2-E.\textcolor{red}{I}+P=0\)
On calcule le discriminant : \(\Delta=(-E)^2-4 (r) (P) = E^2-4r.P\)
On détermine les solutions
Par hypothèse, \(\Delta>0\)
On a donc 2 valeurs possibles pour I : \(I_1 = \dfrac{E+\sqrt{E^2-4rP}}{2r}\) et \(I_2 = \dfrac{E-\sqrt{E^2-4rP}}{2r}\)
Exemple : Équation du second degré avec des fractions
Un objet AB et un écran E sont fixes et distants de \(D\). Entre l'objet et l'écran on place une lentille mince convergente de distance focale\( f'\). On peut montrer que si \(D >4f'\), il existe au moins une position de la lentille distante de p de l'écran pour laquelle il y a une image nette de l'objet sur l'écran. Les lois de conjugaison amènent à l'expression : \(\dfrac{1}{p} -\dfrac{1}{p-D}=\dfrac{1}{f'}\)
Déterminer l'expression de \(p\) en fonction de \(D\) et \(f'\) , position possible pour l'obtention d'une image nette sur l'écran.
Explication :
Raisonnement : \(p\) est présent plusieurs fois, il ne sera pas possible de l'isoler "simplement". On commence par se ramener à une équation en ligne avec \(p\) uniquement au numérateur.
Calcul :
On se ramène à une équation en ligne
On ramène le terme de gauche au même dénominateur : \(\dfrac{\left(p-D\right)-p}{p(p-D)}=\dfrac{1}{f'}\)
On calcule le numérateur de la première fraction : \(\dfrac{-D}{p(p-D)}=\dfrac{1}{f'}\)
On se ramène à une équation en ligne : \(-Df'=p(p-D)\)
On se ramène à une équation du second degré
On développe : \(-Df'=p^2-pD\)
On voit que \(p\) apparaît aussi au carré, on se ramène donc à la forme caractéristique de l'équation du second degré (\(a.x^2+b.x+c=0\)) : \(\textcolor{red}{p}^2-\textcolor{red}{p}D+Df' =0\)
On calcule le discriminant et les solutions
Le discriminant \(D^2-4Df'=D\left(D-4f'\right)\) est positif (énoncé)
Il existe donc deux solutions distinctes pour p : \(p_+=\dfrac{1}{2} \left[D+\sqrt{D^2-4Df'}\right]\) et \(p_-=\dfrac{1}{2} \left[D-\sqrt{D^2-4Df'}\right]\)
Exemple : Équation du second degré avec contrainte sur la solution
Une fusée éclairante suit une trajectoire parabolique et son équation horaire selon l'axe vertical \((Oy)\) s'écrit : \(y(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0\sin{\alpha}\thinspace{t}+h\) où toutes les constantes sont définies positives.
Déterminer le temps de vol \(t>0\) tel que \(y(t)=0\).
Explication :
La condition de l'énoncé se traduit par une équation du second degré que l'on va ensuite résoudre.
On reconnaît une équation du second degré :
La condition de l'énoncé se traduit par : \(-\dfrac{1}{2}g t^2+v_0\sin{\alpha}\thinspace{t}+h=0\)
On reconnaît une équation du second degré dont l'inconnue est \(t\) qui est déjà mise sous forme canonique (\(a.x^2+b.x+c=0\)) : \(-\dfrac{1}{2}g\textcolor{red}t^2+v_0\sin{\alpha}\thinspace\textcolor{red}{t}+h=0\)
On calcule le discriminant : \(\Delta=v_0^2\sin^2\alpha-4h\left(-\dfrac{1}{2}g\right)=v_0^2\sin^2\alpha+2gh\)
On détermine les solutions :
On constate que \(\Delta>0\) et on a donc deux valeurs possibles pour \(t\) :
\(t_1=\dfrac{-v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}}{-g}\) et \(t_2=\dfrac{-v_0\sin\alpha-\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}}{-g}\)
On simplifie les signes moins :
\(t_1=\dfrac{v_0\sin\alpha-\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}}{g}\) et \(t_2=\dfrac{v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}}{g}\)
On choisit la solution compatible avec la contrainte \(t>0\)
L'énoncé dit que \(t\) est toujours positif
La solution \(t_2\) est négative puisque \(\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}>v_0\sin\alpha\)
La solution est donc \(t_1=\dfrac{v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}}{g}\)
Méthode : Résoudre une équation du second degré
Se ramener à une équation en ligne
Ordonner les différents termes de l'équation pour se ramener à la forme
\(ax^2+bx+c=0\)
Calculer le discriminant: \(\Delta = b^2-4ac\)
Justifier que le discriminant est positif : \(\Delta>0\)
Exprimer les solutions : \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Conseil : Quand il n'y a pas de terme constant
Si le terme constant du trinôme est nul, factoriser directement sans calculer le discriminant
Attention : Impossibilité de résoudre le problème
Lorsque \(\Delta < 0\) l'équation n'a pas de solution réelle, l'inconnue ne peut être extraite ou isolée avec cette méthode.
Il faudra recourir aux nombres complexes (voir fiche suivante).