Résoudre une équation du 2d degré dans C
Exemple : Système oscillant
La position \(x\) d'un système masse-ressort qui se déplace autour de sa position d'équilibre est décrit par l'équation différentielle : \(x'' + 2\lambda x'+\omega^2 x=0\).
La position \(x\) est une fonction du temps t et \(\lambda\) et \(\omega\) sont deux constantes positives telles que \(\lambda < \omega\).
Le polynôme caractéristique de cette équation différentielle s'écrit : \(r^2 + 2\lambda r+\omega^2 \)
Calculer toutes les solutions de l'équation qui annule le polynôme caractéristique de l'équation différentielle.
Explication :
Pour déterminer les solutions, on calcule le discriminant et selon son signe, on écrit les solutions.
Calcul littéral :
Le discriminant est \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2= 4\lambda^2-4\omega^2=4(\lambda^2-\omega^2)\)
Comme \(\lambda < \omega\) alors \(\Delta<0\)
Les solutions sont donc \(r_1=-\lambda +\text{i} \sqrt {\omega^2-\lambda^2}\) et \(r_2=-\lambda - \text{i} \sqrt {\omega^2-\lambda^2}\)
On écrit parfois que les solutions sont \(r=-\lambda \pm \text{i} \sqrt {\omega^2-\lambda^2}\)
Méthode : Résolution d'une équation du second degré dans C
On se ramène à la forme canonique \(ax^2+bx+c=0\) et on identifie les termes qui jouent le rôle de \(a\), \(b\) et \(c\) en mathématiques.
On calcule le discriminant : \(\Delta=b^2-4ac\)
On étudie son signe
Si \(\Delta\) est positif ou nul : l'équation a une ou deux solutions réelles (voir fiche méthode précédente),
Si \(\Delta\) est négatif : l'équation a 2 solutions complexes :
\( x_1 = \dfrac{-b-\text{i}\sqrt -\Delta}{2a}\) et \( x_2 = \dfrac{-b+\text{i}\sqrt -\Delta}{2a}\)
On calcule les solutions
On réorganise les résultats si nécessaire :
Simplifier
Séparer les parties réelle et imaginaire si nécessaire
Attention :
Lorsque le discriminant \(\Delta\) est négatif
Par exemple : \(\Delta =-36\),
Alors \(-\Delta\) est bien un nombre positif et \(\sqrt {-\Delta}\) existe dans \(\mathbb R\)
Dans l'exemple précédent, on a : \(-\Delta=-(-36)=36\) et \(\sqrt{-\Delta}=\sqrt{36}=6\)
Remarque : Des solutions conjuguées
Les 2 solutions complexes d'une équation à coefficient réels sont conjuguées.