Utiliser les propriétés du logarithme
Exemple : Expression avec le logarithme décimal
Le niveau sonore \(L\) d'une guitare émettant un son d'intensité \(I\) est donné par la relation \(L=10\log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) avec \(I_0\) une constante.
Lorsque deux guitares jouent simultanément, l'intensité sonore est doublée et le niveau sonore est alors noté \(L_2\)
Déterminer l'expression du niveau sonore \(L_2\) correspondant en fonction de \(L\).
Explication :
On traduit la condition donnée dans l'énoncé : \(L_2=10\log\left(\dfrac{2I}{I_0}\right)\)
On doit exprimer \(L_2\) en fonction de \(L\), il faut donc chercher à faire apparaître
\(L=10\log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) dans l'expression de \(L_2\).
On utilise la propriété \(\log{ab}=\log{a}+\log{b}\) et on obtient :
\(L_2=10\log\left(2\times\dfrac{I}{I_0}\right)=10 \left(\log2+\log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)\right)\)
On développe : \(L_2=10\log(2)+10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\)
On identifie : \(L_2=10\log(2)+L\)
Méthode :
Lorsqu'il faut exprimer une grandeur à partir d'une expression avec des logarithmes, on peut utiliser l'une des propriétés du logarithme suivantes :
\(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\)
\(\log\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\log(a)\)
\(\log\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)\)
\(\log\left(a^{n}\right)=n\log(a)\)
Remarque :
Toutes les propriétés du logarithme peuvent se retrouver à partir de la première propriété : \(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\)
Les propriétés du logarithme népérien (\(\ln\)) et du logarithme décimal (\(\log\)) sont les mêmes.
Attention :
Il n'y a pas de propriété remarquable sur \(\log(a+b)\) ou \(\ln(a+b)\)