Résoudre un système d'équations par substitution
Exemple : Un système de 3 équations...
L'application des lois de Kirchhoff à un circuit électrique conduit au système suivant avec \(I\), \(I_1\) et \(I_2\) comme inconnues :
\(\begin{cases} \mbox{(1) } E+4RI-2RI_1=0 \\ \mbox{(2) } 3E-2RI_1+4RI_2= 0 \\ \mbox{(3) }2E+2RI+RI_1+2RI_2=0\end{cases}\)
Exprimer \(I\) en fonction de \(E\) et de \(R\), à partir du système précédent.
Explication :
On commence par identifier les inconnues. Celle que l'on cherche à exprimer (en rouge), celles qu'on cherche à supprimer en bleu et rose.
\(\begin{cases} \mbox{(1) } E+4R\textcolor{red}{I}-2R\textcolor{blue}{I_1}=0 \\ \mbox{(2) } 3E-2R\textcolor{blue}{I_1}+4R\textcolor{magenta}{I_2}= 0 \\ \mbox{(3) }2E+2R\textcolor{red}{I}+R\textcolor{blue}{I_1}+2R\textcolor{magenta}{I_2}=0\end{cases}\)
On observe qu'il n'y a pas \(I_2\) dans la première équation. On va donc pouvoir s'en servir pour exprimer \(I_1\) en fonction de \(I\) et substituer dans les deux autres équations : \(I_1=f(I)\)
Il n'y a que \(I_1\) et \(I_2\) dans l'expression (2) : on va donc s'en servir ensuite pour exprimer \(I_2\) en fonction de \(I_1\) et grâce à l'équation (1) en fonction de \(I\)
On remplacera ensuite \(I_1\) et \(I_2\) par leur expression en fonction de \(I\) dans la troisième expression.
Calcul :
On exprime \(I_1\) en fonction de \(I\) grâce à (1) :
\(E+4R\textcolor{red}{I}-2R\textcolor{blue}{I_1}=0\Longrightarrow 2R\textcolor{blue}{I_1}=E+4R\textcolor{red}{I} \Longrightarrow \textcolor{blue}{I_1}=\dfrac{E+4R\textcolor{red}{I}}{2R}\)
On exprime \(I_2\) en fonction de \(I_1\) dans (2) :
\(3E-2R\textcolor{blue}{I_1}+4R\textcolor{magenta}{I_2}= 0 \Longrightarrow 4R\textcolor{magenta}{I_2}=2R\textcolor{blue}{I_1}-3E \Longrightarrow \textcolor{magenta}{I_2}=\dfrac{2R\textcolor{blue}{I_1}-3E}{4R}\)
On remplace \(I_1\) par son expression en fonction de \(I\) :
\(\textcolor{magenta}{I_2}=\dfrac{2R\textcolor{blue}{I_1}-3E}{4R}=\dfrac{2R\left(\dfrac{E+4R\textcolor{red}{I}}{2R}\right)-3E}{4R}\dfrac{E+4R\textcolor{red}{I}-3E}{4R}=\dfrac{2R\textcolor{red}{I}-E}{2R}\)
On injecte les expressions précédentes dans (3) pour éliminer \(I_1\) et \(I_2\) :
\(2E+2RI+\dfrac{E+4RI}{2}+2RI-E=0\Longrightarrow \dfrac{3}{2}E+6RI=0\Longrightarrow I=-\dfrac{E}{4R}\)
Remarque : Deux méthodes possibles
L'objectif est de manipuler des expressions littérales pour
Éliminer ou isoler une inconnue
Il existe deux méthodes :
Si une inconnue s'isole facilement dans l'une des relations : utiliser le procédé de substitution
Si l'inconnue est présente dans plusieurs équations : résoudre par combinaison
Méthode : Résoudre un système par substitution
On repère la grandeur que l'on cherche à exprimer et les grandeurs que l'on souhaite supprimer. Ces grandeurs jouent le rôle des inconnues dans un système d'équations en mathématiques.
On cherche dans quelle relation on peut facilement isoler une (ou la) grandeur à supprimer.
On exprime donc la grandeur à supprimer en fonction de la grandeur que l'on veut isoler.
On remplace la grandeur à supprimer dans la ou les autres expressions.
Et ainsi de suite jusqu'à avoir l'expression de la grandeur recherchée qui ne fait plus apparaître les grandeurs que l'on ne sait pas mesurer.
Remarque : Prendre son temps...
Il y a toujours plusieurs façons de résoudre un système d'équations. Mais en général certains chemins sont plus courts que d'autres. Prenez le temps de bien examiner le système avant de vous lancer dans les calculs.