Traduire une relation de proportionnalité

Exemple Trouver la dépendance fonctionnelle

La résistance thermique \(R_{th}\) d'une paroi plane dépend de la conductivité thermique \(\lambda\) du matériau qui la constitue, de son épaisseur \(e\) et de sa surface \(S\). Elle est inversement proportionnelle à la conductivité thermique et à la surface et proportionnelle à l'épaisseur.

Déterminer la relation entre la résistance thermique et l'épaisseur, la surface et la conductivité thermique d'une paroi

Explication

  • On cherche une relation de la forme \(\textcolor{red}{R_{th}}=f(\textcolor{blue}{e,\lambda, S})\).

  • On traduit progressivement l'énoncé :

    • "Elle (=\(\textcolor{red}{R_{th}}\)) est inversement proportionnelle à la conductivité thermique (=\(\lambda\))". Cela se traduit par \(R_{th}\propto \dfrac{1}{\textcolor{blue}{\lambda}}\)

    • "Elle (=\(\textcolor{red}{R_{th}}\)) est inversement proportionnelle à la conductivité thermique et à la surface (=\(S\))". Cela ce traduit par \(R_{th}\propto \dfrac{1}{ \textcolor{blue}{S}}\).

    • "Elle (=\(\textcolor{red}{R_{th}}\)) [...] est proportionnelle à l'épaisseur (=\(e\))". Cela se traduit par \(R_{th}\propto \textcolor{blue}{e} \)

  • Au final, en combinant ces trois informations, on a : \(\textcolor{red}{R_{th}}\propto \textcolor{blue}{\dfrac{e}{\lambda S}}\)

  • Pour avoir une égalité, on traduit la notion de proportionnalité par un coefficient de proportionnalité \(k\) et on obtient : \(\textcolor{red}{R_{th}}=k\times \textcolor{blue}{\dfrac{e}{\lambda S}}\).

Méthode Mettre en équation

  1. Identifier les grandeurs de l'énoncé :

    Celle qui joue le rôle de \(\textcolor{red}{\mbox{fonction}}\)

    Celles qui jouent le rôle de \(\textcolor{blue}{\mbox{variables}}\)

  2. Traduire les différentes relations entre grandeurs données par l'énoncé

  3. Combiner les relations (souvent par substitution) pour obtenir l'expression demandée.

Rappel Traductions...

Quelques traductions

  • "\(y\) est proportionnel à \(x\)"

    • donne \(\textcolor{red}{y}\propto \textcolor{blue}{x}\) ou \(\textcolor{red}{y}=k\textcolor{blue}{x}\) avec \(k\) une constante

  • "\(y\) est inversement proportionnel à \(x\)"

    • donne \(\textcolor{red}{y}\propto \dfrac{1}{\textcolor{blue}{x}}\) ou \(\textcolor{red}{y}=k\dfrac{1}{\textcolor{blue}{x}}\) avec \(k\) une constante

  • "\(y\) est proportionnel au carré de \(x\)"

    • donne \(\textcolor{red}{y}\propto \textcolor{blue}{x}^2\) ou \(\textcolor{red}{y}=k\textcolor{blue}{x}^2\) avec \(k\) une constante

  • "\(y\) est proportionnel à l'inverse du carré de \(x\)"

    • donne \(\textcolor{red}{y}\propto \dfrac{1}{\textcolor{blue}{x}^2}\) ou \(\textcolor{red}{y}=k\dfrac{1}{\textcolor{blue}{x}^2}\) avec \(k\) une constante

  • "\(P\) varie linéairement avec \(z\)"

    • donne \(\textcolor{red}{P}\propto a\textcolor{blue}{z}+b\) avec \(a\) et \(b\) des constantes.

Le signe \(\propto\) signifie "proportionnel à"

Attention Linéaire ne veut pas dire proportionnel

En physique une dépendance linéaire se traduit par une relation affine dont la représentation graphique est une droite qui ne passe pas forcément par l'origine.