Équation du premier degré - Niveau 1 - Équation du premier degré

Équation du premier degré - Niveau 1

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Déterminer la valeur de \(x\) dans l'équation \(\frac{x+2}{3}=\frac57\).

\(x=\frac17\)
\(x=\frac{1}{21}\)
La fraction de gauche n'est pas égale à \(x+\frac23\).
\(x=\frac{15}{14}\)
La fraction de gauche n'est pas égale à \(x+\frac23\) et confusion d'opération.
\(x=-\frac{27}{7}\)
On ne peut commencer par le 2 car il y a une fraction et donc une parenthèse.

Explication Générale

Raisonnement : Pour résoudre cette équation il peut être prudent de faire le produit en croix \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff ad=bc\) pour éliminer les fractions et obtenir une équation linéaire plus facile à résoudre.

Calcul littéral :

Le produit en croix donne : \(7(x+2)=5\times 3\).
On développe : \(7x+14=15\) donc : \(x=\frac17\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Déterminer la valeur de \(x\) dans l'équation \(\frac{2}{x}=\frac73\).

\(x=3\)
Confusion d'opération.
\(x=\frac67\)
\(x=\frac76\)
Oubli d'inverser \(\frac{1}{x}\).
\(x=\frac13\)
Confusion d'opération.

Explication Générale

Calcul littéral :

Produit en croix pour se ramener à une équation en ligne : \(2\times 3= 7\times x\).
Cette équation se lit dans les deux sens : \(7x=6\).
On isole \(x\) en divisant par le pré-facteur : \(x=\frac{6}{7}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Si on multiplie une fraction par -1, alors ...

...elle devient négative.
Seulement si la fraction était positive au départ. Si elle était négative, elle devient positive.
...elle change de signe.
...elle devient son opposé.
...elle devient son inverse.
Ce n'est pas l'inverse mais l'opposé. L'inverse d'une fraction est le nombre qui donne un produit égal à 1 quand on le multiplie par cette fraction. Cela revient à échanger le numérateur et le dénominateur de places, pas à changer le signe.
...le numérateur et le dénominateur changent de signes tous les deux.
Seul un des deux change de signe, au choix. Les fractions correspondent à des divisions et respectent la règle des signes de celle-ci.
...le numérateur ou le dénominateur change de signe.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Si on divise une fraction par 2, alors...

...elle est simplifiée par 2.
Il faudrait diviser le numérateur et aussi le dénominateur pour obtenir une fraction simplifiée. La fraction obtenue ne sera pas égale à la fraction de départ puisqu'elle sera sa moitié.
...le résultat est égal à la moitié de la fraction de départ.
...le numérateur est divisé par 2.
...le dénominateur est divisé par 2.
Diviser par 2 revient à multiplier par 1⁄2 donc le nombre 2 multiplie le dénominateur, il ne le divise pas.
...le numérateur et le dénominateur sont divisés par 2.
Diviser par 2 revient à multiplier par 1⁄2 donc le numérateur est multiplié par 1 et le dénominateur est multiplié par 2. Seul le numérateur est divisé par 2.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(x\) dans l'expression \(\frac{a}{b} = \frac{x}{c}\). (\(a\), \(b\), \(c\), \(x\) non nuls)

\(x=\frac{ab}{c}\)
\(x=\frac{ac}{b}\)
\(x= \frac{cb}{a}\)

Explication Générale

Raisonnement : On utilise l'égalité des produits en croix.

Calcul littéral :

On multiplie en diagonale \(a\) et \(c\) et on divise par \(b\) : \(ac=bx\).
Cette équation se lit dans les deux sens : \(bx=ac\).
On divise par le pré-facteur de \(x\) : \(x=\frac{ac}{b}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(x\) dans l'expression \(\frac{a}{b} = \frac{c}{x}\). (\(a\), \(b\), \(c\), \(x\) non nuls)

\(x=\frac{ab}{c}\)
\(x=\frac{ac}{b}\)
\(x= \frac{cb}{a}\)

Explication Générale

Raisonnement : On utilise l'égalité des produits en croix.

Calcul littéral :

On multiplie en diagonale \(c\) et \(b\) et on divise par \(a\) : \(ax=bc\).
On divise l'expression par le pré-facteur de \(x\) et on obtient : \(x=\frac{bc}{a}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(x\) dans l'expression \(\frac{a}{x} = \frac{b}{c}\). (\(a\), \(b\), \(c\), \(x\) non nuls)

\(x=\frac{ab}{c}\)
\(x=\frac{ac}{b}\)
\(x= \frac{cb}{a}\)

Explication Générale

Raisonnement : On utilise l'égalité des produits en croix.

Calcul littéral :

On multiplie en diagonale \(a\) et \(c\) et on divise par \(b\) : \(ac=bx\).
Cette équation se lit dans les deux sens : \(bx=ac\).
On isole \(x\) en divisant par son pré-facteur : \(x=\frac{ac}{b}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(x\) dans l'expression \(\frac{x}{a} = \frac{b}{c}\). (\(a\), \(b\), \(c\), \(x\) non nuls)

\(x=\frac{ab}{c}\)
\(x=\frac{ac}{b}\)
\(x= \frac{cb}{a}\)

Explication Générale

Raisonnement : On utilise l'égalité des produits en croix.

Calcul littéral :

On multiplie en diagonale \(a\) et \(b\) et on divise par \(c\) : \(x\cdot c= b\cdot a\).
On divise par le pré-facteur de \(x\) et on obtient : \(x=\frac{ba}{c}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Déterminer la valeur de \(x\) dans l'équation \(\frac{x}{x+3}=\frac65\).

\(x=2\)
Confusion entre les opérations + et x.
\(x=-\frac{9}{5}\)
On ne peut pas séparer \(x\) et 3 dans \(x+3\) car c'est un dénominateur.
\(x=\frac{18}{5}\)
Confusion entre les opérations + et x.
\(x=-18\)

Explication Générale

Calcul littéral :

Le produit en croix donne : \(5x=6(x+3)\).
On développe : \(5x=6x+18\) et donc : \(x=-18\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Déterminer la valeur de \(x\) dans l'équation \(\frac{2}{x+3}=\frac95\).

\(x=\frac{17}{15}\)
On ne peut pas séparer \(x\) et 3 dans \(x+3\) car c'est un dénominateur.
\(x=\frac{15}{17}\)
On ne peut pas séparer \(x\) et 3 dans \(x+3\) car c'est un dénominateur.
\(x=-\frac{17}{9}\)
\(x=-\frac{5}{3}\)
On ne peut pas séparer \(x\) et 3 dans \(x+3\) car c'est un dénominateur.

Explication Générale

Calcul littéral :

Le produit en croix donne : \(2\times 5=9(x+3)\).
On développe : \(10=9x+27\) et donc : \(x=-\frac{17}{9}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Déterminer la valeur de \(x\) dans l'équation \(\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac12+\frac13}\).

\(x=5\)
L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses.
\(x=\frac65\)
Oubli d'inverser \(\frac{1}{x}\).
\(x=\frac56\)
\(x=\frac15\)
Mauvais ordre des opérations et l'inverse d'une somme de fractions n'est pas la somme des inverses.

Explication Générale

Raisonnement : Pour résoudre cette équation il faut d'abord réduire au même dénominateur le dénominateur de la fraction du membre de droite ou alors passer à l'inverse dans les deux membres.

Calcul :

On commence par réduire \(\frac12+\frac13\) au même dénominateur : \(\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}\).
Diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse, on a donc \(\frac{1}{\frac12+\frac13}=\frac{1}{\frac56}=\frac65\).
On inverse maintenant la relation obtenue : \(x=\frac56\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Déterminer la valeur de \(x\) dans l'équation \(\frac{1}{x}=\frac12+\frac13\).

\(x=5\)
L'inverse d'une somme de fraction n'est pas la somme des inverses.
\(x=\frac65\)
\(x=\frac56\)
Oubli d'inverser \(\frac{1}{x}\).
\(x=\frac15\)
Oubli d'inverser \(\frac{1}{x}\) et l'inverse d'une somme de fraction n'est pas la somme des inverses.

Explication Générale

Raisonnement : Pour résoudre cette équation il faut d'abord réduire au même dénominateur le membre de droite avant de passer à l'inverse.

Calcul :

On commence par obtenir une fraction de chaque côté du signe égal en mettant le membre de droite au même dénominateur : \(\frac{1}{x}=\frac36+\frac26=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}\).
On inverse l'expression : \(x=\frac65\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Quelle est la solution de l'équation : \(\frac{1}{5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{x}\) ?

\(\frac{1}{2}\)
Revoir addition de fractions et inverse d'un nombre.
\(2\)
Revoir inverse d'un nombre.
\(\frac{15}{2}\)
\(\frac{2}{15}\)
C'est l'inverse.

Explication Générale

Raisonnement : On détermine d'abord \(\frac{1}{x}\) et on inversera ensuite l'expression.

Calcul :

On ajoute \(\frac{1}{3}\) dans chaque membre, on obtient : \(\frac14+\frac13=-\frac{1}{x}\).
Cette équation se lit dans les deux sens : \(-\frac{1}{x}=\frac14+\frac13\).
On ramène le membre de droite à une seule fraction :\(-\frac{1}{x}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}\) \(=\frac{7}{12}\).
On multiplie par -1 dans chaque membre : \(\frac{1}{x}=-\frac{7}{12}\).
On inverse l'expression : \(x=-\frac{12}{7}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Quelle est la solution de l'équation : \(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{5}\) ?

\(\frac{1}{20}\)
Revoir inverse d'un nombre.
\(\frac{20}{9}\)
Revoir addition de fractions.
\(\frac{9}{20}\)
Revoir addition de fractions et inverse d'un nombre.
\({20}\)

Explication Générale

Raisonnement : On détermine d'abord \(\frac{1}{x}\) et on inversera ensuite l'expression.

Calcul :

On isole \(\frac{1}{x}\) en soustrayant 1/5 : \(\frac14-\frac15=\frac{1}{x}\).
Cette équation se lit dans les deux sens : \(\frac{1}{x}=\frac14-\frac15\).
On ramène le membre de droite à une seule fraction :\(\frac{1}{x}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}\) \(=\frac{1}{20}\).
On inverse l'expression : \(x=20\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Quelle est la solution de l'équation : \(\frac{1}{x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\) ?

\(\frac{2}{9}\)
Revoir addition de fractions et inverse d'un nombre.
\(\frac{9}{2}\)
Revoir addition de fractions.
\(\frac{20}{9}\)
\(\frac{9}{20}\)
Il faut encore prendre l'inverse de \(\frac{9}{20}\).

Explication Générale

Raisonnement : On se ramène à une fraction de chaque côté du signe égal pour pouvoir ensuite inverser l'expression.

Calcul :

On détermine d'abord : \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}\).
On a donc \(\frac{1}{x}=\frac{9}{20}\).
On inverse l'expression \(x=\frac{20}{9}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

La relation de conjugaison d'un lentille à bords minces s'écrit :

\(\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}\).

Quelles écritures sont compatibles avec cette relation ?

\(\frac{1}{\overline{OA}} - \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'}\)
Attention aux signes.
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{\overline{OA}} - \frac{1}{f'}\)
\(\overline{OA'}= \frac{1}{\frac{1}{\overline{OA}} + \frac{1}{f'}}\)
\(\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{\overline{OA}} + \frac{1}{f'}\)

Explication Générale

À savoir :

Pour passer un terme d'une somme de l'autre côté du signe égal, on ajoute son opposé :
Exemple : \(a-b=c \Leftrightarrow a+(-b)=c \Leftrightarrow a+(-b)+b=c+b\Leftrightarrow a=c+b\).
Pour changer le signe d'un terme, on peut multiplier toute l'équation par \(-1\) :
Exemple : \( a-b=c\Leftrightarrow -(a-b)=-c \Leftrightarrow -a+b=-c \Leftrightarrow b-a=-c\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(z\) dans l'expression \(\frac{1}{x} = \frac{1}{y}-\frac{1}{z}\).

\(z=x+y\)
Attention \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\), mais \(3\ne 6+2\).
\(z=\frac{x-y}{xy}\)
C'est \(\frac{1}{z}\) qui est obtenu ici, pas \(z\).
\(z=\frac{y-x}{xy}\)
C'est l'opposé de \( \frac{1}{z}\) qui est obtenu ici, pas \(z\).
\(z=\frac{xy}{y-x}\)
C'est l'opposé de \(z\) qui est obtenu ici, pas \(z\).
\(z=\frac{xy}{x-y}\)

Explication Générale

Résolution :

On isole d'abord \(\frac{1}{z}\): \(\frac{1}{z}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\).
On réduit au même dénominateur afin de se ramener à une égalité de la forme \(\frac {a}{b}=\frac{c}{d}\) et on obtient \(\frac{1}{z}=\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy}\), soit \(\frac{1}{z}=\frac{x-y}{xy}\).
\(\frac{1}{z}\) désigne l'inverse de \(z\), on obtient donc : \(z=\frac{xy}{x-y}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(y\) dans l'expression \(\frac{1}{x} = \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\).

\(y=x-z\)
Attention \(\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\), mais \(6\ne 2-3\).
\(y=\frac{x-z}{xz}\)
C'est \(\frac{1}{y}\) qui est obtenu ici, pas \(y\).
\(y=\frac{z-x}{xz}\)
C'est l'opposé de \( \frac{1}{y}\) qui est obtenu ici, pas \(y\).
\(y=\frac{xz}{x-z}\)
C'est l'opposé de \(y\) qui est obtenu ici, pas \(y\).
\(y=\frac{xz}{z-x}\)

Explication Générale

Résolution :

On isole d'abord \(\frac{1}{y}\): \(\frac{1}{y}=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}\).
On réduit au même dénominateur afin de se ramener à une égalité de la forme \(\frac {a}{b}=\frac{c}{d}\) et on obtient \(\frac{1}{y}=\frac{z}{xz}-\frac{x}{xz}\), soit \(\frac{1}{y}=\frac{z-x}{xz}\).
\(\frac{1}{y}\) désigne l'inverse de \(y\), on obtient donc : \(y=\frac{xz}{z-x}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(x\) dans l'expression \(\frac{1}{x} = \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\).

\(x=\frac{yz}{y+z}\)
\(x=y+z\)
Attention \(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\), mais \(6+3\ne 2\).
\(x=\frac{y+z}{yz}\)
C'est \(\frac{1}{x}\) qui est obtenu ici, pas \(x\).
\(x=\frac{y+z}{2}\)
Revoir addition de nombres en écriture fractionnaire.

Explication Générale

Calcul littéral :

On réduit au même dénominateur afin de se ramener à une égalité de la forme \(\frac {a}{b}=\frac{c}{d}\) et on obtient : \(\frac{1}{x}=\frac{z}{yz}+\frac{y}{yz}\), soit \(\frac{1}{x}=\frac{y+z}{yz}\).
\(\frac{1}{x}\) désigne l'inverse de \(x\), on obtient donc : \(x=\frac{yz}{y+z}\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(x\) dans l'expression \(\frac{a}{b} = \frac{x-2}{c}\). (\(a\), \(b\), \(c\), \(x\) non nuls)

\(x=\frac{ca}{b}-2\)
\(x=\frac{ca}{b}+2\)
\(x=\frac{cb}{a}+2\)
\(x=\frac{cb}{a}-2\)

Explication Générale

Calcul littéral :

Se ramener à une écriture en ligne en utilisant l'égalité des produits en croix : \(\frac{a}{b}=\frac{x-2}{c}\) donc \(b\times(x-2)=ac\).
Développer le côté gauche de l'équation : \(bx-2b=ac\).
Isoler le terme avec \(x\) en soustrayant \(-2b\) (ce qui revient à ajouter \(2b\)) : \(bx=ac+2b\).
On isole ensuite \(x\) en divisant par son pré-facteur : \(x=\frac{ac}{b}+2\frac{b}{b}\).
On simplifie la fraction \(\frac{b}{b}=1\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Isoler \(x\) dans l'expression \(\frac{a}{b} = \frac{c}{1+x}\). (\(a\), \(b\), \(c\), \(x\) non nuls)

\(x=\frac{ca}{b}-1\)
\(x=\frac{cb}{a}-1\)
\(x=\frac{cb}{a}+1\)
\(x=\frac{ca}{b}+1\)

Explication Générale

Calcul littéral :

Se ramener à une écriture en ligne en utilisant l'égalité des produits en croix : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{1+x}\) donc \(a\times(1+x)=bc\).
On développe la parenthèse pour isoler \(x\) : \(a+ax=bc\).
On isole le terme en \(x\) en soustrayant \(a\) à l'expression : \(ax=bc-a\).
On isole ensuite \(x\) en divisant par \(a\) : \(x=\frac{bc}{a}-\frac{a}{a}\).
On simplifie \(\frac{a}{a}=1\).

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation

Dans laquelle (lesquelles) des situations suivantes est-il plus astucieux de réorganiser les fractions avant de calculer les sommes de fractions ?

On cherche à exprimer \(\overline{OA'}\) dans la relation \(\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}\)
On cherche à exprimer \(f'\) dans la relation \(\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}\)
f' est déjà isolé dans une seule fraction, qui est seule de son côté du signe égal.
On cherche à exprimer \(v\) dans la relation \(\Delta t = L \times \left(\frac{1}{v}-\frac{1}{V}\right)\)
On cherche à exprimer \(L\) dans la relation \(\Delta t = L \times \left(\frac{1}{v}-\frac{1}{V}\right)\)
\(L\) est en facteur des fractions. L'étape suivante est donc de calculer la somme de fractions pour pouvoir ensuite se ramener à une équation en ligne.

Explication Générale

Raisonnement : Lorsqu'on se retrouve face à une équation avec une somme de fractions, il faut en général commencer par sommer les fractions pour n'avoir qu'une fraction de chaque côté du signe égal. Cependant, il est parfois astucieux d'arranger les fractions (en ajoutant ou soustrayant de chaque côté du signe égal) pour se faciliter les calculs.

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