Équations du second degré - Niveau 1
?Équations du second degré dans R
Énoncé
Quelles sont la ou les solution(s) de l'équation \(-x^2-6x = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que :
Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta >0\), les solutions sont \( x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \( x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\)
Calcul :
On identifie les paramètres : a =-1, b = -6, c = 0
On calcule le discriminant : \(\Delta = 36-4 \times 0\times (-1 )= 36\)
Comme \(\Delta>0\) l'équation admet deux solutions distinctes réelles :
\(x_1 = \frac{6-\sqrt {36}}{2 \times -1}\)
\( x_2 = \frac{6+\sqrt {36}}{2 \times -1}\)
On calcule chacune des solutions en sachant que \(\sqrt{36}=6\) :
\(x_1 = \frac{6-6}{-2}=0\)
\( x_2 = \frac{6+6}{-2}=-6\)
?Équations du second degré dans R
Énoncé
Quel est le nombre de solution(s) de l'équation \(3x^2+6 = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que :
Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta >0\), les solutions sont \( x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \( x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\)
Calcul :
On identifie les paramètres : a =3, b = 0, c = 6
On calcule le discriminant : \(\Delta = 0-4 \times 3\times 6= -72\)
Comme \(\Delta<0\) l'équation n'admet pas de solutions réelles
?Équations du second degré dans R
Énoncé
Quelles sont la ou les solution(s) de l'équation \(-4x^2+1 = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que :
Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta >0\), les solutions sont \( x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \( x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\)
Calcul :
On identifie les paramètres : a =-4, b = 0, c = 1
On calcule le discriminant : \(\Delta = 0-4 \times 1\times (-4 )= 16\)
Comme \(\Delta>0\) l'équation admet deux solutions distinctes réelles :
\(x_1 = \frac{0-\sqrt {16}}{2 \times -4}\)
\( x_2 = \frac{0+\sqrt {16}}{2 \times -4}\)
On calcule chacune des solutions en sachant que \(\sqrt{16}=4\) :
\(x_1 = \frac{0-4}{-8}=\dfrac12\)
\( x_2 = \frac{0+4}{-8}=-\dfrac12\)
?Équations du second degré dans R
Énoncé
Quelles sont la ou les solution(s) de l'équation \(2x^2-8x = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que :
Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta >0\), les solutions sont \( x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \( x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\)
Calcul :
On identifie les paramètres : a =2, b = -8, c = 0
On calcule le discriminant : \(\Delta = 64-4 \times 2 \times 0= 64\)
Comme \(\Delta>0\) l'équation admet deux solutions distinctes réelles :
\(x_1 = \frac{8-\sqrt {64}}{2 \times 2}\)
\( x_2 = \frac{8+\sqrt {64}}{2 \times 2}\)
On calcule chacune des solutions en sachant que \(\sqrt{64}=8\) :
\(x_1 = \frac{8-8}{4}=0\)
\( x_2 = \frac{8+8}{4}=\frac{16}{4}= 4\)
?Exprimer une grandeur à partir d'une relation
Énoncé
Quelle(s) sont (est) les solution(s) de l'équation \(2x^2-12x+18 = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que :
Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta = 0\), l'équation admet une solution "double" : \(x_0= \frac {-b}{2a}\)
Calcul :
On identifie les paramètres : a =2, b = -12, c = 18
On calcule le discriminant : \(\Delta = (-12)^2-4 \times 2 \times (18 )= 144-144=0\)
Comme \(\Delta=0\) l'équation admet une solution double :
\(x_0= \frac {-b}{2a}\)
On calcule la solution :
\(x_0= \frac {-(-12)}{4}=3\)
?Exprimer une grandeur à partir d'une relation
Énoncé
Quel est le nombre de solution(s) de l'équation \(2x^2-12x+18 = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que :
Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta = 0\), l'équation admet une solution "double"
Calcul :
On identifie les paramètres : a =2, b = -12, c = 18
On calcule le discriminant : \(Delta = (-12)^2-4 \times 2 \times (18 )= 144-144=0\)
Comme \(\Delta=0\) l'équation admet une solution double
?Exprimer une grandeur à partir d'une relation
Énoncé
Quelle est la forme factorisée du polynôme \(2x^2+6x-8 \)?
Correction
Explication Générale
On sait que :
Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta >0\), les solutions sont \( x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \( x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\)
Le polynôme \(ax^2+bx+c\) se factorise par \(a(x-x_1)(x-x_2)\)
Calcul :
On identifie les paramètres : a =2, b = 6, c = -8
On calcule le discriminant : \(\Delta = 36-4 \times2 \times (-8 )= 100\)
Comme \(\Delta>0\) l'équation admet deux solutions distinctes réelles :
\(x_1 = \frac{-6-\sqrt {100}}{2 \times 2}\)
\( x_2 = \frac{-6+\sqrt {100}}{2 \times 2}\)
On calcule chacune des solutions en sachant que \(\sqrt{100}=10\) :
\(x_1 = \frac{-6-10}{4}=\frac{-16}{4}\)
\( x_2 = \frac{-6+10}{4}=\frac{4}{4}\)
On factorise en utilisant \(a(x-x_1)(x-x_2)\):
On remplace et on obtient : \(2x^2+6x-8 =2(x-1)(x+4)\)
?Exprimer une grandeur à partir d'une relation
Énoncé
Quelle(s) sont (est) la ou les solution(s) de l'équation \(2x^2+6x-8 = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
Rappel : Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), si le discriminant \(\Delta >0\), les solutions sont \( x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \( x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\)
Calcul :
On identifie les paramètres : a =2, b = 6, c = -8
On calcule le discriminant : \(\Delta = 36-4 \times2 \times (-8 )= 100\)
Comme \(\Delta>0\) l'équation admet deux solutions distinctes réelles :
\(x_1 = \frac{-6-\sqrt {100}}{2 \times 2}\)
\( x_2 = \frac{-6+\sqrt {100}}{2 \times 2}\)
On calcule chacune des solutions en sachant que \(\sqrt{100}=10\) :
\(x_1 = \frac{-6-10}{4}=\frac{-16}{4}\)
\( x_2 = \frac{-6+10}{4}=\frac{4}{4}\)
On simplifie les fractions :
\(x_1 = -\frac{4\times4}{4}=-4\)
\(x_2 = 1\)
?Exprimer une grandeur à partir d'une relation
Énoncé
Quel est le nombre de solution(s) de l'équation \(2x^2+6x-8 = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que : Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\).
Raisonnement et calcul :
On identifie dans l'équation les paramètres :a =2, b = 6, c = -8
On calcule le discriminant : \(36-4 \times2 \times (-8 )= 100\)
Solution : Comme \(\Delta>0\), L'équation admet deux solutions distinctes réelles
?Exprimer une grandeur à partir d'une relation
Énoncé
Quelles sont (est) les (la) solution(s) de l'équation \(x^2+6x+34 = 0\) dans \(\mathbb R\)?
Correction
Explication Générale
On sait que : Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\).
Raisonnement et calcul :
On identifie dans l'équation les paramètres :a =1, b = 6, c = 34
On calcule le discriminant : \(\Delta = 36-4\times 34 = -100\)
Solution : Comme \(\Delta<0\), il n'y a pas de solution réelle