Équations du second degré - Niveau 2

Raisonnement : On cherche à résoudre l'équation du second degré de la forme \(ax^2+bx+c=0\) : \(-\frac{1}{2}x^2+ax+aL=0\)

Calcul :

• On identifie

  • La grandeur qui joue le rôle de la variable : \(x \leftrightarrow x\)

  • Les paramètres : \(a \leftrightarrow -\dfrac 12\), \(b \leftrightarrow a\) et \(c \leftrightarrow aL\)

• On calcule le discriminant (forme \(\Delta=b^2-4ac\)) et on obtient : \(\Delta=a^2-4aL\times(-\frac{1}{2})=a^2+2aL\)

• On calcule les racines (forme \(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)) et on obtient : \(x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+2aL}}{2\times(-\frac{1}{2})}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+2aL}}{-1}\)

• On ne conserve que la solution positive :

  • \(x=a+\sqrt{a^2+2aL}\)

  • En effet pour la solution \(x=a-\sqrt{a^2+2aL}\), \(\sqrt{a^2+2aL}>a\) et donc la solution est négative.

Raisonnement : On cherche à résoudre l'équation du second degré de la forme \(at^2+bt+c=0\) : \(y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin\alpha t+h=0\)

Calcul :

• On identifie

  • La grandeur qui joue le rôle de la variable \(x\leftrightarrow t\)

  • Les paramètres : \(a=-\frac{1}{2}g\), \(b=v_0\sin\alpha\) et \(c=h\)

• On calcule le discriminant (de la forme \(\Delta=b^2-4ac\)) et on obtient : \(\Delta=v_0^2\sin^2\alpha-4h\times(-\frac{1}{2}g)=v_0^2\sin^2\alpha+2gh\)

• On calcule les racines (de la forme \(t=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)) et on obtient : \(t=\frac{-v_0\sin\alpha\pm\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}}{-g}\)

• On ne conserve que la solution positive car on cherche un temps qui est nécessairement positif : \(t=\frac{v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh}}{g}\)

On sait que :

Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\).

S'il est nul, l'équation admet une solution "double": \(x_0= \frac {-b}{2a}\)

Raisonnement et calcul :

• On identifie dans l'équation \(r^2 + 2\lambda r+\omega^2=0 \)

  • La grandeur qui joue le rôle de l'inconnue : \(x \leftrightarrow r\)

  • Les paramètres : \(a =1\), \(b = 2\lambda\) et \(c=\omega^2\)

• On calcule le discriminant :

  • \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2\)

  • On développe la parenthèse \(\Delta = 4\lambda^2-4\omega^2\)

  • On factorise le 4 : \(\Delta =4(\lambda^2-\omega^2)\)

• On détermine le signe du discriminant : 

  • Comme \(\lambda = \omega\), alors \(\lambda^2=\omega^2\)

  • Et donc \(\lambda^2-\omega^2=0\), on a donc : \(\Delta=0\)

• Solutions : l''équation admet une solution "double" : \(r_0= \frac {-2\lambda}{2}= -\lambda\)

On sait que :

Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\).

Si le discriminant \(\Delta >0\), les solutions sont \( x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}\) et \( x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}\)

Raisonnement et calcul :

• On identifie dans l'équation \(r^2 + 2\lambda r+\omega^2=0 \)

  • La grandeur qui joue le rôle de l'inconnue : \(x \leftrightarrow r\)

  • Les paramètres : \(a =1\), \(b = 2\lambda\) et \(c=\omega^2\)

• On calcule le discriminant :

  • \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2\)

  • On développe la parenthèse \(\Delta = 4\lambda^2-4\omega^2\)

  • On factorise le 4 : \(\Delta =4(\lambda^2-\omega^2)\)

• On détermine le signe du discriminant : 

  • Comme \(\lambda > \omega\), alors \(\lambda^2>\omega^2\)

  • Et donc \(\lambda^2-\omega^2>0\), on a donc : \(\Delta>0\)

• Solutions : \(r_1 = \frac{-2\lambda-\sqrt {4(\lambda^2-\omega^2)}}{2}\) et \( r_2 = \frac{-2\lambda+\sqrt {4(\lambda^2-\omega^2)}}{2}\)

Après simplification : \(r_1=-\lambda -\sqrt {\lambda^2-\omega^2}\) et \(r_2=-\lambda +\sqrt {\lambda^2-\omega^2}\)

On sait que : Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\).

S'il est nul, l'équation admet une solution "double"

Raisonnement et calcul :

• On identifie dans l'équation \(r^2 + 2\lambda r+\omega^2=0 \)

  • La grandeur qui joue le rôle de l'inconnue : \(x \leftrightarrow r\)

  • Les paramètres : \(a =1\), \(b = 2\lambda\) et \(c=\omega^2\)

• On calcule le discriminant :

  • \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2\)

  • On développe la parenthèse \(\Delta = 4\lambda^2-4\omega^2\)

  • On factorise le 4 : \(\Delta =4(\lambda^2-\omega^2)\)

• On détermine le signe du discriminant : 

  • Comme \(\lambda = \omega\), alors \(\lambda^2=\omega^2\)

  • Et donc \(\lambda^2-\omega^2=0\), on a donc : \(\Delta=0\)

et l''équation admet une solution "double"

On sait que : Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\).

S'il est positif l'équation admet deux solutions distinctes

Raisonnement et calcul :

• On identifie dans l'équation \(r^2 + 2\lambda r+\omega^2=0 \)

  • La grandeur qui joue le rôle de l'inconnue : \(x \leftrightarrow r\)

  • Les paramètres : \(a =1\), \(b = 2\lambda\) et \(c=\omega^2\)

• On calcule le discriminant :

  • \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2\)

  • On développe la parenthèse \(\Delta = 4\lambda^2-4\omega^2\)

  • On factorise le 4 : \(\Delta =4(\lambda^2-\omega^2)\)

• On détermine le signe du discriminant : 

  • Comme \(\lambda > \omega\), alors \(\lambda^2>\omega^2\)

  • Et donc \(\lambda^2-\omega^2>0\), on a donc : \(\Delta>0\)

et l''équation a deux solutions distinctes.

On sait que : Pour une équation du second degré du type\( ax^2+bx+c=0\), le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\).

Raisonnement et calcul :

• On identifie dans l'équation \(r^2 + 2\lambda r+\omega^2=0 \)

  • La grandeur qui joue le rôle de l'inconnue : \(x \leftrightarrow r\)

  • Les paramètres : \(a =1\), \(b = 2\lambda\) et \(c=\omega^2\)

• On calcule le discriminant :

  • \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2\)

  • On développe la parenthèse \(\Delta = 4\lambda^2-4\omega^2\)

  • On factorise le 4 : \(\Delta =4(\lambda^2-\omega^2)\)

• On détermine le signe du discriminant : 

  • Comme \(\lambda = \omega\), alors \(\lambda^2=\omega^2\)

  • Et donc \(\lambda^2-\omega^2=0\), on a donc : \(\Delta=0\)

Raisonnement : l'équation à résoudre demande de chercher la racine carrée d'un nombre négatif. Ce calcul est possible avec les nombres complexes.

Calcul :

• On écrit le nombre négatif à droite du signe égal comme un carré : \((z-2i)^2=i^2\times 4=(2i)^2\)

• Les racines carrées positives et négatives de \((2i)^2\) sont solution, \(z\) est donc solution de \( z-2=4i\) ou de \(z-2=-4i \)

• On résout alors les deux équations et on obtient : \(z=2+4i\) ou \(z=2-4i\)

Il existe donc bien deux solutions complexes conjuguées.

Raisonnement : l'équation à résoudre demande de chercher la racine carrée d'un nombre négatif. Ce calcul est possible avec les nombres complexes.

Calcul :

• On écrit le nombre négatif à droite du signe égal comme un carré : \((z-2)^2=i^2\times 9=(3i)^2\)

• Les racines carrées positives et négatives de \((3i)^2\) sont solution, \(z\) est donc solution de \( z-2=3i\) ou de \(z-2=-3i \)

• On résout alors les deux équations et on obtient : \(z=2+3i\) ou \(z=2-3i\)

Il existe donc bien deux solutions complexes conjuguées.

Résolution de l'équation du second degré

• L'équation est bien présentée sous la forme \( az^2+bz+c=0\), on identifie donc : \(a =1, b = -2 \sin \theta, c = 1\)

• On calcule maintenant le discriminant \(\Delta = (-2 \sin \theta)^2-4\times 1 = 4( \sin^2 \theta -1)=-4\cos^2 \theta\)

• Le discriminant \(\Delta <0\), les solutions sont donc complexes et sont : \(\frac{-(-2 \sin \theta) \pm 2 i\cos \theta}{2}\) soit \(\sin \theta \pm i\cos \theta =e^{\pm i \theta} \)

• On simplifie le résultat : \(\sin \theta \pm i\cos \theta = i(-i\sin \theta \pm \cos \theta) =ie^{-i \theta} \mbox{ou} -ie^{i \theta}\)

Résolution de l'équation du second degré

• L'équation est bien présentée sous la forme \( az^2+bz+c=0\), on identifie donc : \(a =1, b = -2 \cos \theta, c = 1\)

• On calcule maintenant le discriminant \(\Delta = (-2 \cos \theta)^2-4\times 1 = 4( \cos^2 \theta -1)=-4\sin^2 \theta\)

• Le discriminant \(\Delta <0\), les solutions sont donc complexes et sont : \( \frac{-(-2 \cos \theta) \pm 2 i\sin \theta}{2}\)

• On simplifie le résultat : \(\cos \theta \pm i\sin \theta =e^{\pm i \theta} \)

Résolution de l'équation du second degré

• L'équation est bien présentée sous la forme \( az^2+bz+c=0\), on identifie donc : a =2, b = -6, c = 5

• On calcule maintenant le discriminant \(\Delta = 36-4\times 10 = -4\)

• Le discriminant \(\Delta <0\), les solutions sont donc complexes et sont : \( z_0 =\frac{-(-6) + 2 i}{2\times 2}\) et \( z_0' =\frac{-(-6) -2 i}{2\times 2}\)

• On simplifie le résultat : \(z_0=\frac32 \pm \frac12 i\)

Résolution de l'équation du second degré

• L'équation est bien présentée sous la forme \( az^2+bz+c=0\), on identifie donc : a =1, b = 6, c = 34

• On calcule maintenant le discriminant \(\Delta = 36-4\times 34 = -100\)

• Le discriminant \(\Delta <0\), les solutions sont donc complexes et sont : \( z_0 = \frac{-b-i\sqrt -\Delta}{2a}\) et \( z_0' = \frac{-b+i\sqrt -\Delta}{2a}\)

• On simplifie le résultat : \(z_0=\frac{-6 \pm10i}{2}-3 \pm 5i\)

Résolution de l'équation du second degré

• L'équation est bien présentée sous la forme \( az^2+bz+c=0\), on identifie donc : \(a =r^2, b = 2\lambda, c = \omega^2\)

• On calcule maintenant le discriminant \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2= 4\lambda^2-4\omega^2=4(\lambda^2-\omega^2)\)

• Le discriminant \(\Delta <0\), les solutions sont donc complexes et sont : \(-\lambda \pm i \sqrt {\omega^2-\lambda^2}\)

Résolution de l'équation du second degré

• L'équation est bien présentée sous la forme \( az^2+bz+c=0\), on identifie donc : \(a =1, b = 2\lambda, c = \omega^2\)

• On calcule maintenant le discriminant \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2= 4\lambda^2-4\omega^2=4(\lambda^2-\omega^2)\)

• Comme \(\lambda < \omega\), \(\Delta<0\), et l''équation a deux solutions complexes conjuguées, les coefficients étant ici réels.

Résolution de l'équation du second degré

• L'équation est bien présentée sous la forme \( az^2+bz+c=0\), on identifie donc : \(a =1, b = 2\lambda, c = \omega^2\)

• On calcule maintenant le discriminant \(\Delta = (2\lambda)^2 - 4 \omega^2= 4\lambda^2-4\omega^2=4(\lambda^2-\omega^2)\)

• Comme \(\lambda < \omega\), \(\Delta<0\)