Propriétés des fonctions usuelles - Niveau 1

• On utilise la propriété du logarithme de transformer les produits en somme : \(\log(3\times10^5)= \log(3)+\log(10^5)\)

• On utilise le fait que le logarithme décimal est la fonction réciproque de la puissance de 10 : \(\log(3\times10^5)=\log(3)+5\)

Formule à connaître : \(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\) et donc \(\log(a)-\log(b)=\log(\frac{a}{b})\).

Lorsque vous doutez de la formule, essayez là sur des puissances de 10, en prenant a=10 et b=100 par exemple.

\(\log(10\times100)=\log(10^3)=3\) et on a aussi \(\log(10 \times 100)=\log(10)+\log(100)=1+2=3\).

Les formules à connaître sont : \(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\) et \(\log(a)-\log(b)=\log(\frac{a}{b})\).

On a donc \(\log(6)-\log(60)=\log(\frac{6}{60})=\log(0,1)=\log(10^{-1})=-1\).

On a donc \(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\).

Lorsque vous doutez de la formule, essayez là sur des puissances de 10, en prenant a=10 et b=100 par exemple.

\(\log(10\times100)=\log(10^3)=3\) et on a aussi \(\log(10 \times 100)=\log(10)+\log(100)=1+2=3\).

Formules à connaître :

• \( \log (a \times b) = \log ( a) + \log (b) \) ;

• \( \log (a^b) = b \times \log ( a) \) ;

• \(\log (10^a) = a\).

\(pKa =-\log (K_a) = -\log {[H_3O^+] [A^-] \over [HA] } = -\log [H_3O^+]-\log [A^-] +\log [HA]= pH -\log [A^-] +log [HA]\)

\(pKe =- log (K_e) = -\log ( [H_3O^+] [HO^-] )= -\log [H_3O^+]-\log [HO^-] = pH -\log [HO^-] \)

La fonction puissance de 10 est la réciproque de la fonction "\(\log\)".

\( x= 10^{y} \Leftrightarrow y=\log (x) \)

\([H_3O^+] = 10^{-pH} \Leftrightarrow pH= -\log([H_3O^+]) \)

Propriétés du logarithme népérien :

\(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\) et \(\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)\).

On a donc :

\(-\ln(cd) = -\left( \ln(c)+\ln(d)\right)=-\ln(c)-\ln(d)\).

Il faut connaître les propriétés du logarithme népérien : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\) et \(\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)\).

Il faut connaître les propriétés du logarithme népérien et savoir décomposer le nombre \(0,001\) en \((2*5)^{-3}\).

Il faut connaître les propriétés du logarithme népérien et savoir décomposer le nombre \(1000\) en \((2*5)^3\).

On veut exprimer \(\ln\left(\frac{a^4}{b^2}\right)\) en fonction de \(\ln(a)\) et \(\ln(b)\).

Pour cela, il faut connaître les propriétés du logarithme népérien : \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\) et \(\ln\left(a^n\right)=n\ln(a)\).

Ainsi, on a \(\ln\left(\frac{a^4}{b^2}\right)=\ln\left(a^4\right)-\ln\left(b^2\right)=4\ln(a)-2\ln(b)\).

Pour résoudre cet exercice, on utilise la propriété : \(ln(x/y)=x-y\) avec \(x=a^2\) et \(y=b^3\).

On utilise ensuite la propriété : \(ln(a^n)=n\) avec ici et \(n=2\) pour le premier terme et \(n=3\) pour le second terme pour aboutir au résultat.

On a donc : \(\ln\left(\frac{a^2}{b^3}\right)=\ln(a^2)-\ln(b^3)=2\ln(a)-3\ln(b)\).

Il faut connaître la propriété du logarithme népérien : \(\ln\left(a^n\right)=n\ln(a)\).

Il faut connaître la propriété du logarithme népérien : \(\ln\left(a^n\right)=n\ln(a)\).

32 est en fait une puissance de 2 : \(32=2\times 16=2\times 2\times 8=2\times 2\times 2\times 2\times 2=2^5\).

On peut alors utiliser la propriété du logarithme : \(\ln(a^n)=n\ln(a)\) avec \(n =5\) et \(a=2\).

On a donc \(\ln(2^5)=5\times \ln(2)\).

Formule du cours : \(\log\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)\).

Formule du cours : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\).

On peut s'en convaincre en utilisant la calculatrice et en essayant avec deux nombres, comme par exemple 3 et 4 : \(\ln(3)=1,1\), \(\ln(4)=1,4\), \(\ln(12)=2,5=1,1+1,4\).

On peut aussi s'en souvenir en utilisant la définition du logarithme naturel et les propriétés des fonctions puissances \(\ln(e^x)=x\) : \(\ln(e^a\times e^b)=\ln(e^{a+b})=a+b=\ln(e^a)+\ln(e^b)\).

Formule du cours à connaître : \(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\).

On dit que le logarithme népérien transforme la division en soustraction.

Formule du cours à connaître : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\) ou \(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\).

Raisonnement :

On cherche à isoler le rapport \(\frac{T_B}{T_A}\). On va utiliser la propriété des puissances : \(\left( a^{n} \right)^{1/n}=a \)

Calcul :

• On construit le rapport \(\frac{T_B}{T_A}\) en gardant pour le moment les puissances

  • En divisant par \(T_A\) et on a : \(\frac{{T_B}^{\gamma}}{{T_A^{\gamma}}}P_B^{{1-\gamma}}=P_A^{{1-\gamma}}\)

  • Puis on divise par \(\left(P_B\right)^{1-\gamma}\) et on a \(\frac{\left(T_B\right)^{{\gamma}}}{\left(T_A\right)^{\gamma}}=\frac{{P_A^{1-\gamma}}}{{P_B^{1-\gamma}}}\)

  • On simplifie l'écriture : \(\left(\frac{T_B}{T_A}\right)^{\gamma}=\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^{1-\gamma}\)

• On élève toute l'expression à la puissance \(\frac{1}{\gamma}\)

  • \(\frac{T_B}{T_A}=\left(\left(\frac{T_B}{T_A}\right)^{\gamma}\right)^{1/{\gamma}}=\left(\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^{1-\gamma}\right)^{1/\gamma}=\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^{(1-\gamma)/\gamma}\)

Raisonnement :

On cherche à isoler le rapport \(\frac{V_B}{V_A}\). On va utiliser la propriété des puissances : \(\left( a^{n} \right)^{1/n}=a \)

Calcul :

• On construit le rapport \(\frac{V_B}{V_A}\) en gardant pour le moment les puissances

  • En divisant par \(T_B\) et on a : \(\frac{T_A}{T_B}V_A^{{\gamma}-1}=V_B^{{\gamma}-1}\)

  • Puis on divise par \(\left(V_A\right)^{\gamma-1}\) et on a \(\frac{\left(V_B\right)^{{\gamma-1}}}{\left(V_A\right)^{\gamma-1}}=\frac{T_A}{T_B}\)

  • On simplifie l'écriture du terme de gauche : \(\frac{\left(V_B\right)^{{\gamma-1}}}{\left(V_A\right)^{\gamma-1}}=\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_A}{T_B}\)

• On élève toute l'expression à la puissance \(\frac{1}{\gamma-1}\)

  • \(\left(\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{{\gamma-1}}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}=\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\Leftrightarrow \frac{V_B}{V_A}=\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

Raisonnement :

On cherche à isoler le rapport \(\frac{V_B}{V_A}\). On va utiliser la propriété des puissances : \(\left( a^{n} \right)^{1/n}=a \)

Calcul :

• On construit le rapport \(\frac{V_B}{V_A}\) en gardant pour le moment les puissances

  • En divisant par \(P_B\) et on a : \(\frac{P_A}{P_B}V_A^{\gamma}=V_B^{\gamma}\)

  • Puis on divise par \(\left(V_A\right)^\gamma\) et on a \(\frac{\left(V_B\right)^{\gamma}}{\left(V_A\right)^\gamma}=\frac{P_A}{P_B}\)

  • On simplifie l'écriture du terme de gauche : \(\frac{\left(V_B\right)^{\gamma}}{\left(V_A\right)^\gamma}=\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^\gamma=\frac{P_A}{P_B}\)

• On élève toute l'expression à la puissance \(1/\gamma\)

  • \(\left(\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma}\right)^{1/\gamma}=\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^{1/{\gamma}}\Leftrightarrow \frac{V_B}{V_A}=\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^{1/{\gamma}}\)

Raisonnement : La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction "ln".

\( x= e^{y} \Leftrightarrow y=\ln (x)\)

\({N \over N_0}= e^{ -\lambda \times t} \Leftrightarrow -\lambda \times t= \ln({N \over N_0}) \)

Application numérique :

\(\lambda \times t= -ln(0,1) = 2,3\)

La fonction exponentielle "\(\exp\)" est la réciproque de la fonction logarithme népérien "\(\ln\)", on peut donc écrire :

\(\ln(exp(x)) = \ln(e^x)=x\)

Donc si

\({U(t) \over U_0} = e^{-t \over \tau}\)

alors :

\(ln({U(t) \over U_0}) = ln(e^{-t \over \tau})\)

\(\Rightarrow ln({U(t) \over U_0}) = {-t \over \tau}\).

Calcul :

• On applique la propriété \(\log(a\times b)=\log(a)+\log(b)\) et on obtient : \(\log\left(10^3\times 10^5\right)=\log\left(10^3\right)+\log\left(10^5\right)\).

• On sait que le logarithme décimal est la fonction réciproque de la puissance de 10 \(\log(x)=y \iff x=10^{y}\) et on a donc : \(\log\left(10^3\times 10^5\right)=3+5=8\).

Pour résoudre cette équation, on utilise la propriété du logarithme : \(\ln(x)=y \iff x=\text{e}^{y}\) et \(\log(x)=y \iff x=10^{y}\).

Ainsi en appliquant la fonction puissance de 10 des deux côtés de l'équation on a : \(10^{\log(x)}=10^5\) et donc \(x=10^5=100000\).

La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction "\(\ln\)".

\(y=-\ln (x) \Leftrightarrow x= e^{-y}\)

\({t \over \tau}= -ln({q \over q_0}) \Leftrightarrow {q \over q_0}= e^{-t \over \tau}\)

La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction "\(\ln\)".

\( x= e^{y} \Leftrightarrow y=\ln (x)\)

\({N \over N_0}= e^{ -\lambda \times t} \Leftrightarrow -\lambda \times t= -\ln({N \over N_0}) \)

Raisonnement : La fonction puissance de 10 est la réciproque de la fonction "\(\log\)".

Calcul littéral :

• En mathématiques on écrit : \(y=-\log (x) \Leftrightarrow x= 10^{-y}\).

• En physique, on a donc : \(pKa = -\log (Ka) \Leftrightarrow Ka = 10^{-pKa}\).

Rappel : \(\ln(x)=y \iff x=\text{e}^{y}\).

Calcul :

• On applique l'exponentielle à toute l'expression : \(\exp(\ln(x+5))=\exp(3)\)

• On utilise les propriétés des fonctions réciproques : \(\exp(\ln(x+5))=x+5=\exp(3)\)

• On isole \(x\) et on a : \(x=\exp(3)-5\)

Notations équivalentes :

• \(x=\exp(3)-5=e^3-5=-5+e^3\)

Rappel : \(\ln(x)=y \iff x=\text{e}^{y}\).

Calcul :

• On applique l'exponentielle à toute l'expression : \(\exp(\ln(x+1))=\exp(4)\)

• On utilise les propriétés des fonctions réciproques : \(\exp(\ln(x+1))=x+1=\exp(4)\)

• On isole \(x\) et on a : \(x=\exp(4)-1\)

Notations équivalentes :

• \(x=\exp(4)-1=e^4-1\)

Il faut connaître les propriétés de la fonction logarithme népérien et les deuxvaleurs remarquables \(\ln(1)=0\) et \(\ln(\text{e})=1\).

Il faut connaître les propriétés de la fonction logarithme népérien et les deux valeurs remarquables \(\ln(1)=0\) et \(\ln(\text{e})=1\).

Formules du cours à connaître : \(\ln(x)=y \iff x=\text{e}^{y}\) et \(\log(x)=y \iff x=10^{y}\).

À savoir : Deux fonctions \(f_1\) et \(f_2\) sont réciproques si \(f_1(f_2(x))=x\).

• \(\log(10^x)=x\) et \(10^{\log(x)}=x\)

• \(\ln(e^x)=x\) et \(e^{\ln(x)}=x\)

• \(\sqrt{x^2}=x\) et \(\left(\sqrt{x}\right)^2=x\)

• \(\mbox{arctan}\left(\tan(x)\right)=x\) et \(\tan\left(\mbox{arctan}(x)\right)=x\)