Partie réelle et imaginaire - Niveau 2
?Faire parler une expression complexe
En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe appelé impédance complexe et noté Z. L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L en parallèle est \(Z = \frac{jLR\omega}{R + jL\omega}\)
L'argument de Z, dans l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\), est le déphasage courant-tension du dipôle.
La pulsation du système est noté \(\omega\) et est définie positive. En électricité \(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut l'argument de Z?
Explication Générale
Raisonnement : Soit z un nombre complexe, \(z\) s'écrit \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. L'argument de z est l'angle \(\theta\) tel que \(\tan(\theta) = \frac{b}{a}\). Donc \(\arg (z) = \theta = \arctan \frac{b}{a}\)
Calcul :
On utilise la propriété "l'argument d'un quotient est la différence des arguments du numérateur et du dénominateur" et on a : \(\arg (z)= \arg (jLR\omega)-\arg(R + jL\omega)\)
Le premier nombre est un imaginaire pur, on a donc : \(\arg (z)= \frac{\pi}{2}-\arg(R + jL\omega)\)
On applique la formule de l'arc tangente pour le deuxième terme : \(\arg (z)= \frac{\pi}{2}-\arctan\left( \frac{L\omega}{R}\right)\)
Remarque 1 : On peut obtenir ce résultat d'une autre manière, en ramenant d'abord Z à sa forme algébrique, mais cette solution est beaucoup plus longue.
On écrit Z sous la forme a+jb en multipliant par le complexe conjugué : \(Z = \frac{jLR\omega}{R + jL\omega}= \frac{jLR\omega}{R+ jL\omega}\times \frac{R-jL\omega}{R - jL\omega}=jLR\omega\times\frac{R-jL\omega}{R^2+L^2\omega^2}\)
On distribue le terme \(jLR\omega\) et on a : \(Z = \frac{jLR\omega R}{R^2+L^2\omega^2}-j\frac{jLR\omega L\omega}{R^2+L^2\omega^2}=\frac{jL\omega R^2}{R^2+L^2\omega^2}+\frac{R\omega^2 L^2}{R^2+L^2\omega^2}\).
Avant d'écrire la formule pour l'argument de Z, on calcule le rapport "b/a" : \( \left(\frac{\frac{L\omega R^2}{R^2+L^2\omega^2}}{\frac{R\omega^2 L^2}{R^2+L^2\omega^2}}\right)=\frac{L\omega R^2}{\textcolor{red}{R^2+L^2\omega^2}}\times \frac{\textcolor{red}{R^2+L^2\omega^2}}{R\omega^2 L^2}=\frac{L\omega R^2}{R\omega^2L^2}=\frac{R}{L\omega}\)
On écrit la formule pour l'argument \(\arg (Z) = \arctan \left(\frac{R}{{\omega L}}\right)\)
Remarque 2 :
Ces deux solutions sont équivalentes car \(\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\)
?Faire parler une expression complexe
En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe appelé impédance complexe et noté Z. L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L en parallèle est \(Z = \frac{jLR\omega}{R + jL\omega}\), où la pulsation du système est noté \(\omega\) et est définie positive.
En électricité \(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie imaginaire de Z?
Explication Générale
Raisonnement :
Soit un nombre complexe \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. Son inverse \(\frac{1}{a + jb}\) est \(\frac{1}{a + jb} \times \frac{a-jb}{a - jb}=\frac{a-jb}{a^2+b^2}\)
Calcul :
\(Z = \frac{jLR\omega}{R + jL\omega}= \frac{jLR\omega}{R+ jL\omega}\times \frac{R-jL\omega}{R - jL\omega}=jLR\omega\times\frac{R-jL\omega}{R^2+L^2\omega^2}\)
\(Z = \frac{jLR\omega R}{R^2+L^2\omega^2}-j\frac{jLR\omega L\omega}{R^2+L^2\omega^2}=\frac{jL\omega R^2}{R^2+L^2\omega^2}+\frac{R\omega^2 L^2}{R^2+L^2\omega^2}\).
On identifie :\(Im(Z) =\frac{LR^2\omega}{{R^2+L^2\omega^2}}\)
?Faire parler une expression complexe
En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe appelé impédance complexe et noté Z. L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L en parallèle est \(Z = \frac{jLR\omega}{R + jL\omega}\), où la pulsation du système est noté \(\omega\) et est définie positive.
En électricité \(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie réelle de Z?
Explication Générale
Raisonnement :
Soit un nombre complexe \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. Son inverse \(\frac{1}{a + jb}\) est \(\frac{1}{a + jb} \times \frac{a-jb}{a - jb}=\frac{a-jb}{a^2+b^2}\)
Calcul :
\(Z = \frac{jLR\omega}{R + jL\omega}= \frac{jLR\omega}{R+ jL\omega}\times \frac{R-jL\omega}{R - jL\omega}=jLR\omega\times\frac{R-jL\omega}{R^2+L^2\omega^2}\)
\(Z = \frac{jLR\omega R}{R^2+L^2\omega^2}-j\frac{jLR\omega L\omega}{R^2+L^2\omega^2}=\frac{jL\omega R^2}{R^2+L^2\omega^2}+\frac{R\omega^2 L^2}{R^2+L^2\omega^2}\).
On identifie :\(Re(Z) =\frac{L^2R\omega^2}{R^2+L^2\omega^2}\)
?Faire parler une expression complexe
Soit un onde représentée par son amplitude complexe \(B = b\) .Une onde déphasée de \(\phi\) par rapport à la première est représentée par son amplitude complexe \(A = a e^{j\phi}\)
a et b sont 2 nombres réels. Ces 2 ondes se superposent en un point. L'amplitude résultante est la somme \(A+B\).
\(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie réelle de A+B?
Explication Générale
Raisonnement : Soit z un nombre complexe, \(z\) s'écrit \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. L'écriture exponentielle de z s'écrit \(r e^{j\phi}\)
r est le module de z, \(\phi\) est l'argument de z et \(e^{j\phi} = \cos(\phi) + j \sin( \phi)\)
Calcul : \(A+B = a e^{j\phi}+b = a \cos(\phi) + b + j a \sin( \phi)\)
On identifie : \( Re (A) = a \cos( \phi)+b\)
?Faire parler une expression complexe
Soit un onde représentée par son amplitude complexe \(B = b\) .Une onde déphasée de \(\phi\) par rapport à la première est représentée par son amplitude complexe \(A = a e^{j\phi}\)
a et b sont 2 nombres réels. Ces 2 ondes se superposent en un point. L'amplitude résultante est la somme \(A+B\).
\(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie imaginaire de A+B?
Explication Générale
Raisonnement : Soit z un nombre complexe, \(z\) s'écrit \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. L'écriture exponentielle de z s'écrit \(r e^{j\phi}\)
r est le module de z, \(\phi\) est l'argument de z et \(e^{j\phi} = \cos(\phi) + j \sin( \phi)\)
Calcul : \(A+B = a e^{j\phi}+b = a \cos(\phi) + b + j a \sin( \phi)\)
On identifie : \( Im (A) = a \sin( \phi)\)
?Faire parler une expression complexe
Une onde déphasée de \(\phi\) par rapport à une onde de référence est représentée par son amplitude complexe \(A = a e^{j\phi}\)
a est un nombre réel.
\(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie réelle de A?
Explication Générale
Raisonnement : Soit z un nombre complexe, \(z\) s'écrit \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. L'écriture exponentielle de z s'écrit \(r e^{j\phi}\)
r est le module de z, \(\phi\) est l'argument de z et \(e^{j\phi} = \cos(\phi) + j \sin( \phi)\)
Calcul : \(A = a e^{j\phi} = a \cos(\phi) + j a \sin( \phi)\)
On identifie : \( Re (A) = a \cos( \phi)\)
?Faire parler une expression complexe
Une onde déphasée de \(\phi\) par rapport à une onde de référence est représentée par son amplitude complexe \(A = a e^{j\phi}\)
a est un nombre réel.
\(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie imaginaire de A?
Explication Générale
Raisonnement : Soit z un nombre complexe, \(z\) s'écrit \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. L'écriture exponentielle de z s'écrit \(r e^{j\phi}\)
r est le module de z, \(\phi\) est l'argument de z et \(e^{j\phi} = \cos(\phi) + j \sin( \phi)\)
Calcul : \(A = a e^{j\phi} = a \cos(\phi) + j a \sin( \phi)\)
On identifie : \( Im (A) = a \sin( \phi)\)
?Faire parler une expression complexe
En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe appelé impédance complexe et noté Z. L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L en série est \(Z = R + jL\omega\), où la pulsation du système est noté \(\omega\) et est définie positive. La conductance de ce dipôle est \(Y = \frac{1}{Z}\).
En électricité \(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie imaginaire de Y?
Explication Générale
Raisonnement :
Soit un nombre complexe \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels.
Son inverse \(\frac{1}{a + jb}\) est \(\frac{1}{a + jb} \times \frac{a-jb}{a - jb}=\frac{a-jb}{a^2+b^2}\)
Calcul :
\(Y = \frac{1}{R+ jL\omega} =\frac{1}{R+ jL\omega}\times \frac{R-jL\omega}{R - jL\omega}\).
On calcule le dénominateur : \(Y = \frac{R-jL\omega}{R^2+L^2\omega^2}\).
On sépare partie réelle et imaginaire \(Y = \frac{R}{R^2+L^2\omega^2}-j\frac{L\omega}{R^2+L^2\omega^2}\).
Présentation du résultat :
On identifie :\( Im(Y)=-\frac{L\omega}{R^2+L^2\omega^2}\)
?Faire parler une expression complexe
En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe appelé impédance complexe et noté Z. L'impédance d'un dipôle composé d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine d'inductance L en série est \(Z = R + jL\omega\), où la pulsation du système est noté \(\omega\) et est définie positive. La conductance de ce dipôle est \(Y = \frac{1}{Z}\).
En électricité \(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie réelle de Y?
Explication Générale
Raisonnement : Soit un nombre complexe \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. Son inverse \(\frac{1}{a + jb}\) est \(\frac{1}{a + jb} \times \frac{a-jb}{a - jb}=\frac{a-jb}{a^2+b^2}\)
Calcul : \(Y = \frac{1}{R+ jL\omega} =\frac{1}{R+ jL\omega}\times \frac{R-jL\omega}{R - jL\omega}=\frac{R-jL\omega}{R^2+L^2\omega^2}= \frac{R}{R^2+L^2\omega^2}-j\frac{L\omega}{R^2+L^2\omega^2}\).
On identifie :\( Re(Y)=\frac{R}{R^2+L^2\omega^2}\)
?Faire parler une expression complexe
En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal avec un nombre complexe appelé impédance complexe et noté Z. L'impédance d'un condensateur de capacité C est \(Z =\frac{1}{ jC\omega}\), où la pulsation du système est noté \(\omega\) et est définie positive.
En électricité \(j\) est le nombre complexe imaginaire pur noté \(i\) en mathématiques, on a donc \(j^2=-1\)
Que vaut la partie imaginaire de Z?
Explication Générale
Raisonnement : Soit z un nombre complexe, \(z\) s'écrit \(a + jb\), a et b sont deux nombres réels. La partie imaginaire de z est Im(z) = b. La partie réelle de z est Re(z) = a.
Calcul : \(Z =\frac{1}{ jC\omega} =\frac{j}{ j^2C\omega}=\frac{j}{(-1)C\omega}=-\frac {j}{C\omega}=0+(-j)\frac {1}{C\omega}= Re(Z) + j\times Im(Z) \).
On identifie :\( Im(Z)=-\frac {1}{C\omega}\)