Comparer deux grandeurs - Niveau 2
?Étudier la dépendance d'une grandeur
Pour expliquer la couleur bleue du ciel, on peut utiliser le modèle d'un électron excité. La puissance lumineuse rayonnée par cet électron peut s'écrire \(P=\frac{k}{\lambda^4}\) avec \(k\) coefficient de proportionnalité et \(\lambda\) longueur d'onde de l'onde lumineuse rayonnée.
On donne \(\lambda_{bleu}=0,64\lambda_{rouge}\).
Quel est le rapport entre la puissance rayonnée dans le bleu et celle rayonnée dans le rouge ?
Explication Générale
Raisonnement : Pour pouvoir comparer deux grandeurs, il faut effectuer le rapport de la plus grande sur la plus petite.
Calcul :
On pose le rapport \(\frac{P_{bleu}}{P_{rouge}}=\frac{\left(\frac{k}{\lambda_{bleu}}\right)^4}{\left(\frac{k}{\lambda_{rouge}}\right)^4}\)
On se ramène à une seule fraction : \(\frac{P_{bleu}}{P_{rouge}}=\left(\frac{k}{\lambda_{bleu}}\right)^4\times\left(\frac{\lambda_{rouge}}{k}\right)^4=\left(\frac{k\lambda_{rouge}}{k \lambda_{bleu}}\right)^4\)
On simplifie : \(\frac{P_{bleu}}{P_{rouge}}=\left(\frac{\lambda_{rouge}}{\lambda_{bleu}}\right)^4\)
On utilise la relation entre les deux longueurs d'onde donnée dans l'énoncé : \(\frac{P_{bleu}}{P_{rouge}}=\left(\frac{\lambda_{rouge}}{0,64 \times\lambda_{rouge}}\right)^4=\left(\frac{1}{0,64}\right)^4\)
On réalise l'application numérique : \(\frac{P_{bleu}}{P_{rouge}}=6,0\)
?Étudier la dépendance d'une grandeur
Le transport de l'électricité sous haute tension permet de réduire les pertes par effet Joule qui sont proportionnelles au carré de l'intensité : \(P_{J}=RI^2\)
La haute tension permet de diviser l'intensité du courant électrique par 100, soit \(\frac{I_{BT}}{I_{HT}}=100\)
Que vaut le rapport entre la puissance électrique perdue par effet Joule à basse tension (\(P_{JBT}\)) et celle perdue à haute tension (P_{JHT})?
Explication Générale
Raisonnement :
Pour pouvoir comparer deux grandeurs, il faut calculer le rapport \(\frac{P_{JBT}}{P_{JHT}}\).
L'énoncé nous donne en fait 3 relations \(\begin{cases}P_{JBT}=R\left(I_{BT}\right)^2\\ P_{JHT}=R\left(I_{HT}\right)^2\\ \frac{I_{BT}}{I_{HT}}=100\end{cases}\)
Calcul :
On écrit le rapport \(\frac{P_{JBT}}{P_{JHT}}=\frac{RI^2}{RI_{HT}^2}\)
On simplifie la fraction : \(\frac{P_{JBT}}{P_{JHT}}=\left(\frac{I_{BT}}{I_{HT}}\right)^2\)
On réalise l'application numérique :\( \frac{P_{JBT}}{P_{JHT}}=100^2=10^4\)
?Étudier la dépendance d'une grandeur
Lors du déplacement d'un bus, les frottements fluides sont de l'ordre de 5,0 kN et les frottements solides de 3,0 \(\times\) 102 N
Quelle proposition est une comparaison juste de ces deux forces ?
Explication Générale
Raisonnement : Pour comparer deux grandeurs, il faut calculer leur rapport et le comparer à 1.
Calcul :
On nomme les forces : \(F_f=5,0 \mbox{ kN}\) et \(F_s=3,0\times 10^2\mbox{ N}\)
On construire le rapport de ces deux forces : \(\frac{F_f}{F_s}=\frac{5,0 \mbox{ kN}}{3,0\times 10^2\mbox{ N}}\)
On se ramène aux mêmes unités (le newton) : \(\frac{F_f}{F_s}=\frac{5,0 \times 10^3 \mbox{ N}}{3,0\times 10^2\mbox{ N}}\)
On calcule le quotient : \(\frac{F_f}{F_s}=\frac{50}{3}=17\)
Traduction
On a donc \(F_f=17F_s\), ce qui se traduit par les affirmations :
La force de frottement fluide est 17 fois plus élevée que la force de frottement solide
La force de frottement solide est 17 fois moins élevée que la force de frottement fluide
17>1 donc \(F_f>F_s\)
On a aussi \(\frac{1}{17}F_f=F_s \iff F_s=0,06 F_f\)
?Étudier la dépendance d'une grandeur
La force électrique \(F_E\) subie par un électron est de l'ordre de \(10^{-17}\) N et son poids \(P\) de l'ordre de \(10^{-29}\)
Quelle est la relation entre ces deux forces ?
Explication Générale
Raisonnement : Pour comparer deux grandeurs, on effectue leur rapport que l'on compare ensuite à 1.
Calcul :
On écrit le rapport des deux forces \(K=\frac{F_E}{P}=\frac{10^{-17}}{10^{-29}}\)
On calcule ce rapport : \(K=10^{-17+29}=10^{12}\)
On peut réécrire la relation : \(K=\frac{F_E}{P}=10^{12}\Rightarrow F_E=10^{12} \times P\)
Traduction : La force électrique est donc \(10^{12}\) fois plus grande que le poids.
?Résoudre un problème
Un bâtiment est équipé d'éoliennes qui permettent de produire une énergie électrique de 8×103 kW.h et de panneaux solaires qui fournissent 2,2×1011 J.
Quelle énergie, en MWh, produit ce bâtiment ?
Donnée : 1 kWh = 3,6×106 J
Explication Générale
Raisonnement :
Il faut convertir les énergies produites par les éoliennes et les panneaux solaires puis les additionner.
Application numérique :
Conversion de l'énergie produite par les éoliennes : \(8\times10^3\mbox{ kWh}=8\times10^3\times 10^{-3}\mbox{ MWh}=8\mbox{ MWh}\).
Conversion de l'énergie produite par les panneaux solaires : \(2,2\times10^{11}\mbox{ J}=\frac{2,2\times10^{11}}{3,6\times10^6}\mbox{ kWh}=6,1\times10^4\mbox{ kWh}=6,1\times10^4\times 10^{-3}\mbox{ MWh}=61\mbox{ MWh}\)
Calcul de l'énergie totale produite : \(8+61=69\mbox{ MWh}\)